KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 3837. Let P and Q, respectively, denote the centres of the squares ABDE and BCGH drawn on the sides AB and BC of the triangle ABC outwards. The midpoints of the sides AC and DH are R and S, respectively. Show that the points P, Q, R and S are the vertices of a square. (4 points)

(4 points)

Deadline expired on 17 October 2005.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás.

Legyenek X,Y,U és V rendre az AB,BC,BH és BD szakaszok felezőpontjai, Z pedig az Y pontnak a QR szakasz felezőpontjára vonatkozó tükörképe. Mivel az SU szakasz a BDH háromszög középvonala, SU párhuzamos és egyenlő hosszú a VB szakasszal, és így a PX szakasszal is. Hasonlóképpen az UQ és XR szakaszok is párhuzamosak és egyenlő hosszúak. Ezért az UQS - esetleg elfajuló - háromszög eltolással származtatható az XRP háromszögből, amiért is a PRQS négyszög paralelogramma. QZ párhuzamos és egyenlő hosszú az YR szakasszal, ezért BX-szel is, vagyis a PX szakaszból 90o-os elforgatással keletkezik. ZR pedig párhuzamos és egyenlő hosszú a QY szakasszal, amely viszont az XR-rel párhuzamos és egyenlő hosszú BY szakaszból keletkezik ugyancsak 90o-os elforgatással. Következésképpen a QZR háromszög a PXR háromszögből kapható meg 90o-os elforgatással, vagyis a QR szakasz merőleges a PR szakaszra, és hosszuk megegyezik. Ebből már következik, hogy a PRQS paralelogramma négyzet.


Statistics on problem B. 3837.
216 students sent a solution.
4 points:159 students.
3 points:24 students.
2 points:14 students.
1 point:6 students.
0 point:13 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, September 2005

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley