KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 3839. (September 2005)

B. 3839. The bisector of the angle A of triangle ABC intersects the side BC at D. The lines b and c drawn through the points B and C, respectively, are parallel to each other and equidistant from A. Let M and N denote the points of the lines b and c, such that AB bisects the line segment DM and AC bisects the line segment DN. Prove that DM=DN.

(5 pont)

Deadline expired on 17 October 2005.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Húzzunk a b,c egyenesekkel párhuzamos egyeneseket az A és a D pontokon keresztül. Az első egyenes CB szakasszal alkotott metszéspontját jelölje F, a másodiknak az AB egyenessel alkotott metszéspontját pedig K. A DM és DN szakaszok felezőpontját jelölje M' illetve N', az AB szakasz felezőpontja pedig legyen G. Ekkor az F pont felezi a BC szakaszt, M' pedig a BK szakaszt. Az egymáshoz hasonló AFB és KDB háromszögben FG és DM' egymásnak megfelelő súlyvonalak, ezek közül az előbbi egyben az ABC háromszög egyik középvonala is. Ezért DM'/DB=FG/FB, ahonnan DM=2DM'=2FG.DB/FB=2AC.DB/BC. Ugyanígy kapjuk, hogy DN=2AB.DC/BC, ahonnan

{DM\over DN}={AC\over AB}\cdot{DB\over DC}=1

következik a szögfelező-tétel alapján.

Megjegyzés: Ha b és c lehetne ugyanaz az egyenes, akkor b=c=BC teljesül, és ebben az esetben csak akkor igaz az állítás, ha AB=AC.


Statistics:

81 students sent a solution.
5 points:Baranyai J. Attila, Blázsik Zoltán, Bogár 560 Péter, Csaba Ákos, Cseh Ágnes, Cséke Balázs, Csima Géza, Csorba János, Dányi Zsolt, Eisenberger András, Fehér Judit, Fekete Balázs Samu, Győrffy Lajos, Honner Balázs, Horváth 385 Vanda, Hülber Tímea, Kardos Kinga Gabriela, Károlyi Márton, Klimaj Zoltán, Kovács 111 Péter, Kovács 129 Péter, Kunovszki Péter, Kutas Péter, Magda Gábor, Majoros Csilla, Mercz Béla, Mészáros Gábor, Molnár 914 Tamás, Müller Márk, Nagy 235 János, Németh 007 Zsolt, Németh 546 Attila György, Pesti Veronika, Pirkó Dániel, Radnai András, Salát Zsófia, Sommer Dániel, Szabó Levente, Szakács Nóra, Szaller Dávid, Szalóki Dávid, Szijártó Gábor, Szilágyi 987 Csaba, Szőke Nóra, Szudi László, Szűcs Gergely, Tomon István, Udvari Balázs, Vida Eszter, Vidnyánszky Zoltán.
4 points:6 students.
3 points:1 student.
2 points:7 students.
1 point:3 students.
0 point:14 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley