KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 3840. (September 2005)

B. 3840. It is known that the planes of the faces of a tetrahedron divide the space into 15 parts. What is the largest possible number of these parts that a line may pass through?

(4 pont)

Deadline expired on October 17, 2005.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Egy egyenes pontosan annyi részbe metsz bele, ahány részre azt a négy lapsík felosztja. Ezen részek száma eggyel nagyobb, mint a síkok által az egyenesen létrehozott metszéspontok száma, feltéve persze, hogy az egyenes egyik lapsíkban sincs benne, hiszen akkor egyetlen részbe sem metszhet bele. Mivel ekkor mindegyik sík legfeljebb egy pontban metszheti az egyenest, a szóban forgó részek száma legfeljebb 5. Ebből az is látszik, hogy pontosan akkor metsz bele az egyenes 5 különböző részbe, ha az egyes lapsíkok az egyenest különböző pontokban metszik, vagyis ha az egyenes nem párhuzamos egyik lapsíkkal sem, és nem metsz bele semelyik két lapsík metszésvonalába. Majdnem minden egyenes ilyen, egyet könnyen konstruálhatunk az alábbi módon. Legyen P az ABCD tetraáder BCD lapjának egy belső pontja. Az AB, AC egyenesek az ABC síkot 4 részre osztják. Az ABC háromszöget tartalmazó résszel szemközti részben válasszunk egy olyan Q pontot, amely nem illeszkedik az APD síkra. Könnyen ellenőrizhetjük, hogy a PQ egyenes mind a négy síkot metszi, de nem metszi az AB,AC,AD,BC,BD,CD egyenesek egyikét sem.


Statistics:

95 students sent a solution.
4 points:Balogh Ádám, Blázsik Zoltán, Bogár 560 Péter, Cseh Ágnes, Csorba János, Dombi Soma, Dudás László, Fehér Judit, Grósz Dániel, Herczegh Péter, Honner Balázs, Hülber Tímea, Károlyi Gergely, Károlyi Márton, Kiss 243 Réka, Kornis Kristóf, Kótai Ádám, Kovács 111 Péter, Kovács 129 Péter, Kunovszki Péter, Nagy 235 János, Nagy-Baló András, Németh 007 Zsolt, Nikházy László, Peregi Tamás, Pesti Veronika, Radnai Ágnes, Salát Zsófia, Sümegi Károly, Szabó 307 István , Szakács Nóra, Szegvári Gábor, Szentandrási István, Szilágyi 987 Csaba, Szirmai Péter, Szőke Nóra, Tóth 001 Bálint, Tóthmérész Lilla, Vidnyánszky Zoltán.
3 points:21 students.
2 points:20 students.
1 point:6 students.
0 point:7 students.
Unfair, not evaluated:2 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley