Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 3843. (October 2005)

B. 3843. Is it possible to select four distinct points on the plane, such that through every pair of points there is a circle that has equal tangents from the other two points?

(3 pont)

Deadline expired on November 15, 2005.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Nem. Ha a három pont közül A,B,C ebben a sorrendben egy egyenesre esik, akkor a B pont a belsejében lesz bármely olyan körnek, amely áthalad az A és C pontokon, ebből a pontból tehát a körhöz érintő egyáltalán nem húzható.

Ha az A,B,C,D pontok ebben a sorrendben egy konvex négyszög csúcsai, melynek mondjuk az A és C csúcsoknál lévő szögeinek összege legalább 180o, akkor az A és C pontok közül legfeljebb egy eshet kívül egy olyan k körön, amely a B és D pontokra illeszkedik. Ez a kerületi szögek tétele segítségével könnyen levezethető, ugyanis ha A és C is kívül esnek a k körön, akkor, mivel a BD egyenes különböző oldalára esnek, a BAD illetve BCD szögek kisebbek annál a két szögnél, mely alatt a BD szakasz a k kör megfelelő oldalon lévő pontjaiból látszik; e két szög összege pedig éppen 180o.

Végül, ha a D pont az ABC háromszög belsejében van, akkor nem nehéz megmutatni, hogy tetszőleges olyan k körre, amely illeszkedik az A és B pontokra, és amelyen mind a C, mind a D pont kívül esik, igaz lesz, hogy D közelebb van a kör középpontjához, mint C. Ugyanis, ha tekintjük azt a k-val koncentrikus k' kört, amelyáthalad C-n, annak az A és B pontok a belsejében vannak, tehát a C csúcstól eltekintve a teljes ABC háromszög, így maga a D pont is a k' belsejébe esik. Ekkor pedig a D-ből k-hoz húzott érintőszakaszok rövidebbek lesznek a C-ből húzottaknál (lásd a szeptemberi B. 3833. feladat megoldását).


Statistics:

204 students sent a solution.
3 points:Balambér Dávid, Berna Zoltán, Bohner Gergő, Csata Árpád, Csizmadija Laura, Dombi Péter, Dudás János, Dudás László, Fülöp Bálint, Grósz Dániel, Halász Máté, Heinczinger Ádám, Kálmán Kornél, Kiss 002 Benedek, Kiss 243 Réka, Koszta Botond, Kozics 111 György, Kőhalmi István, Kristóf Panna, Kriván Bálint, Kunovszki Péter, Lajos Máté, Meggyes Balázs, Pálovics Róbert, Pap Bálint, Réti Norbert, Sárkány Lőrinc, Szabó Beáta Tünde, Szabó Levente, Szívós Eszter, Tóth 796 Balázs, Tóthmérész Lilla, Varga 868 András, Weisz 111 István.
2 points:20 students.
1 point:41 students.
0 point:107 students.
Unfair, not evaluated:2 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2005