Problem B. 3845. (October 2005)

B. 3845. Construct the triangle with ruler and compass ABC, given the lengths of the sides AB and AC, and the distance of the vertex A from the point that divides the side BC in the ratio 2:1.

(4 pont)

Deadline expired on November 15, 2005.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Jelölje a harmadolópontot H, és a háromszög oldalainak szokásos jelölése mellé vezessük be még a h=AH jelölést is. Egészítsük ki a háromszöget egy ABA'C paralelogrammává, amelyben legyen F a CA' oldal felezőpontja. Ekkor az ABH és FCH háromszögek hasonlók, mivel AB:FC=HB:HC=2 és az ABH szög egyenlő az FCH szöggel. Ezért az AHB és FHC szögek is egyenlők, vagyis az A,H,F pontok egy egyenesre esnek, továbbá AH:HF=2 miatt AF=3h/2. Ismerjük tehát az ACF háromszög oldalait, ezek AC=b,CF=c/2,AF=3h/2. Ha az ACF háromszöget ezek alapján megszerkesztjük, akkor az A pontból CF-fel párhuzamosan a c szakaszt felmérve megkapjuk a keresett háromszög B csúcsát is. Látszik, hogy minden esetben egybevágóság erejéig egyértelmű megoldást kapunk, a szerkeszthetőség szükséges és elégséges feltétele, hogy c,2b és 3h kielégítsék a háromszög-egyenlőtlenséget.

Statistics:

237 students sent a solution.
4 points:	90 students.
3 points:	103 students.
2 points:	24 students.
1 point:	10 students.
0 point:	10 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2005