KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 3845. (October 2005)

B. 3845. Construct the triangle with ruler and compass ABC, given the lengths of the sides AB and AC, and the distance of the vertex A from the point that divides the side BC in the ratio 2:1.

(4 pont)

Deadline expired on 15 November 2005.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Jelölje a harmadolópontot H, és a háromszög oldalainak szokásos jelölése mellé vezessük be még a h=AH jelölést is. Egészítsük ki a háromszöget egy ABA'C paralelogrammává, amelyben legyen F a CA' oldal felezőpontja. Ekkor az ABH és FCH háromszögek hasonlók, mivel AB:FC=HB:HC=2 és az ABH szög egyenlő az FCH szöggel. Ezért az AHB és FHC szögek is egyenlők, vagyis az A,H,F pontok egy egyenesre esnek, továbbá AH:HF=2 miatt AF=3h/2. Ismerjük tehát az ACF háromszög oldalait, ezek AC=b,CF=c/2,AF=3h/2. Ha az ACF háromszöget ezek alapján megszerkesztjük, akkor az A pontból CF-fel párhuzamosan a c szakaszt felmérve megkapjuk a keresett háromszög B csúcsát is. Látszik, hogy minden esetben egybevágóság erejéig egyértelmű megoldást kapunk, a szerkeszthetőség szükséges és elégséges feltétele, hogy c,2b és 3h kielégítsék a háromszög-egyenlőtlenséget.


Statistics:

237 students sent a solution.
4 points:90 students.
3 points:103 students.
2 points:24 students.
1 point:10 students.
0 point:10 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley