Problem B. 3846. (October 2005)
B. 3846. Solve the equation .
(4 pont)
Deadline expired on November 15, 2005.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás: Legyen és , ekkor A+B=3 és A4+B4=17. Az utóbbit (A+B)4=81-ből kivonva
64=4A3B+6A2B2+4AB3=4AB(A2+B2)+6(AB)2
adódik. Az AB=t helyettesítéssel ezt a 4t(9-2t)+6t2=64 alakra hozhatjuk. Az ebből kapott t2-18t+32=0 másodfokú egyenlet megoldásai t=16 és t=2. A gyökök és együtthatók között fennálló összefüggés szerint tehát A és B vagy az x2-3x+16=0, vagy az x2-3x+2=0 egyenlet megoldásai. Mivel az első egyenletnek nincs megoldása, kapjuk, hogy A=1, x=1 vagy pedig A=2, x=-14. Az egyenletet mindkét kapott érték kielégíti.
Statistics:
275 students sent a solution. 4 points: 139 students. 3 points: 49 students. 2 points: 28 students. 1 point: 33 students. 0 point: 22 students. Unfair, not evaluated: 4 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, October 2005