A B. 3846. feladat (2005. október) |
B. 3846. Oldjuk meg a
egyenletet.
(4 pont)
A beküldési határidő 2005. november 15-én LEJÁRT.
Megoldás: Legyen és , ekkor A+B=3 és A4+B4=17. Az utóbbit (A+B)4=81-ből kivonva
64=4A3B+6A2B2+4AB3=4AB(A2+B2)+6(AB)2
adódik. Az AB=t helyettesítéssel ezt a 4t(9-2t)+6t2=64 alakra hozhatjuk. Az ebből kapott t2-18t+32=0 másodfokú egyenlet megoldásai t=16 és t=2. A gyökök és együtthatók között fennálló összefüggés szerint tehát A és B vagy az x2-3x+16=0, vagy az x2-3x+2=0 egyenlet megoldásai. Mivel az első egyenletnek nincs megoldása, kapjuk, hogy A=1, x=1 vagy pedig A=2, x=-14. Az egyenletet mindkét kapott érték kielégíti.
Statisztika:
275 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: 139 versenyző. 3 pontot kapott: 49 versenyző. 2 pontot kapott: 28 versenyző. 1 pontot kapott: 33 versenyző. 0 pontot kapott: 22 versenyző. Nem versenyszerű: 4 dolgozat.
A KöMaL 2005. októberi matematika feladatai