KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 3847. (October 2005)

B. 3847. Given an angle and a point in its interior, construct the line through the point that encloses a triangle of minimum area with the arms of the angle.

(5 pont)

Deadline expired on 15 November 2005.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: A feladatnak csak akkor van értelme, ha az adott szög egyenesszögnél kisebb, ezt tehát feltesszük a továbbiakban. A szög két szárát jelölje a,b, az adott pontot P. Tükrözzük az a szárat a P pontra, ez az a' félegyenes a b szárat egy B pontban metszi, melynek a tükörképe az a száron legyen A. Világos, hogy az AB egyenes az egyetlen olyan P-re illeszkedő egyenes, melynek a szögtartományba eső részét - amennyiben az egy szakasz, nem pedig egy félegyenes - a P pont felezi. Megmutatjuk, hogy ez az egyenes a feladat egyetlen megoldása.

Ehhez csak azt kell megmutatnunk, hogy ha a P ponton át egy ettől különböző olyan egyenest húzunk, mely mindkét szögszárat metszi, az a szögtartományból egy nagyobb területű háromszöget vág le. Legyenek a metszéspontok a megfelelő szárakon A' illetve B', és az általánosság megszorítása nélkül tegyük fel, hogy az A' pont közelebb helyezkedik el a szög O csúcsához, mint az A pont. Ekkor az a' félegyenes a PB szakaszt egy B'' pontban metszi, melyre az AA'P háromszög egybevágó a BB''P háromszöggel. Ezért az AA'P háromszög telülete kisebb a BB'P háromszög területénél, az OAB háromszög területe pedig ugyanennyivel lesz kisebb az OA'B' háromszög területénél.


Statistics:

187 students sent a solution.
5 points:102 students.
4 points:41 students.
3 points:15 students.
2 points:10 students.
1 point:10 students.
0 point:9 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley