B. 3847. Adott egy szögtartomány és a belsejében egy pont. Húzzunk a ponton át olyan egyenest, amely a szögtartományból a legkisebb területű háromszöget vágja le.

(5 pont)

A beküldési határidő LEJÁRT.

Megoldás: A feladatnak csak akkor van értelme, ha az adott szög egyenesszögnél kisebb, ezt tehát feltesszük a továbbiakban. A szög két szárát jelölje a,b, az adott pontot P. Tükrözzük az a szárat a P pontra, ez az a' félegyenes a b szárat egy B pontban metszi, melynek a tükörképe az a száron legyen A. Világos, hogy az AB egyenes az egyetlen olyan P-re illeszkedő egyenes, melynek a szögtartományba eső részét - amennyiben az egy szakasz, nem pedig egy félegyenes - a P pont felezi. Megmutatjuk, hogy ez az egyenes a feladat egyetlen megoldása.

Ehhez csak azt kell megmutatnunk, hogy ha a P ponton át egy ettől különböző olyan egyenest húzunk, mely mindkét szögszárat metszi, az a szögtartományból egy nagyobb területű háromszöget vág le. Legyenek a metszéspontok a megfelelő szárakon A' illetve B', és az általánosság megszorítása nélkül tegyük fel, hogy az A' pont közelebb helyezkedik el a szög O csúcsához, mint az A pont. Ekkor az a' félegyenes a PB szakaszt egy B'' pontban metszi, melyre az AA'P háromszög egybevágó a BB''P háromszöggel. Ezért az AA'P háromszög telülete kisebb a BB'P háromszög területénél, az OAB háromszög területe pedig ugyanennyivel lesz kisebb az OA'B' háromszög területénél.

A B. 3847. feladat statisztikája 187 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 102 versenyző. 4 pontot kapott: 41 versenyző. 3 pontot kapott: 15 versenyző. 2 pontot kapott: 10 versenyző. 1 pontot kapott: 10 versenyző. 0 pontot kapott: 9 versenyző.