Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?
A régi honlapot akarom!!! :-)

A B. 3847. feladat (2005. október)

B. 3847. Adott egy szögtartomány és a belsejében egy pont. Húzzunk a ponton át olyan egyenest, amely a szögtartományból a legkisebb területű háromszöget vágja le.

(5 pont)

A beküldési határidő 2005. november 15-én LEJÁRT.


Megoldás: A feladatnak csak akkor van értelme, ha az adott szög egyenesszögnél kisebb, ezt tehát feltesszük a továbbiakban. A szög két szárát jelölje a,b, az adott pontot P. Tükrözzük az a szárat a P pontra, ez az a' félegyenes a b szárat egy B pontban metszi, melynek a tükörképe az a száron legyen A. Világos, hogy az AB egyenes az egyetlen olyan P-re illeszkedő egyenes, melynek a szögtartományba eső részét - amennyiben az egy szakasz, nem pedig egy félegyenes - a P pont felezi. Megmutatjuk, hogy ez az egyenes a feladat egyetlen megoldása.

Ehhez csak azt kell megmutatnunk, hogy ha a P ponton át egy ettől különböző olyan egyenest húzunk, mely mindkét szögszárat metszi, az a szögtartományból egy nagyobb területű háromszöget vág le. Legyenek a metszéspontok a megfelelő szárakon A' illetve B', és az általánosság megszorítása nélkül tegyük fel, hogy az A' pont közelebb helyezkedik el a szög O csúcsához, mint az A pont. Ekkor az a' félegyenes a PB szakaszt egy B'' pontban metszi, melyre az AA'P háromszög egybevágó a BB''P háromszöggel. Ezért az AA'P háromszög telülete kisebb a BB'P háromszög területénél, az OAB háromszög területe pedig ugyanennyivel lesz kisebb az OA'B' háromszög területénél.


Statisztika:

187 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:102 versenyző.
4 pontot kapott:41 versenyző.
3 pontot kapott:15 versenyző.
2 pontot kapott:10 versenyző.
1 pontot kapott:10 versenyző.
0 pontot kapott:9 versenyző.

A KöMaL 2005. októberi matematika feladatai