KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
English Információ A lap Pontverseny Cikkekről Távoktatás Hírek Fórum Internetes Tesztverseny
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
A verseny állása
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

 

Rendelje meg a KöMaL-t!

Támogatóink:

tehetseg.hu

Ericsson

Google

Emberi Erőforrások Minisztériuma

Emberi Erőforrás Támogatáskezelő

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

ELTE

Reklám:

MBUTTONS

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 3847. Adott egy szögtartomány és a belsejében egy pont. Húzzunk a ponton át olyan egyenest, amely a szögtartományból a legkisebb területű háromszöget vágja le.

(5 pont)

A beküldési határid LEJÁRT.


Megoldás: A feladatnak csak akkor van értelme, ha az adott szög egyenesszögnél kisebb, ezt tehát feltesszük a továbbiakban. A szög két szárát jelölje a,b, az adott pontot P. Tükrözzük az a szárat a P pontra, ez az a' félegyenes a b szárat egy B pontban metszi, melynek a tükörképe az a száron legyen A. Világos, hogy az AB egyenes az egyetlen olyan P-re illeszkedő egyenes, melynek a szögtartományba eső részét - amennyiben az egy szakasz, nem pedig egy félegyenes - a P pont felezi. Megmutatjuk, hogy ez az egyenes a feladat egyetlen megoldása.

Ehhez csak azt kell megmutatnunk, hogy ha a P ponton át egy ettől különböző olyan egyenest húzunk, mely mindkét szögszárat metszi, az a szögtartományból egy nagyobb területű háromszöget vág le. Legyenek a metszéspontok a megfelelő szárakon A' illetve B', és az általánosság megszorítása nélkül tegyük fel, hogy az A' pont közelebb helyezkedik el a szög O csúcsához, mint az A pont. Ekkor az a' félegyenes a PB szakaszt egy B'' pontban metszi, melyre az AA'P háromszög egybevágó a BB''P háromszöggel. Ezért az AA'P háromszög telülete kisebb a BB'P háromszög területénél, az OAB háromszög területe pedig ugyanennyivel lesz kisebb az OA'B' háromszög területénél.


A B. 3847. feladat statisztikája
187 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:102 versenyz .
4 pontot kapott:41 versenyz .
3 pontot kapott:15 versenyz .
2 pontot kapott:10 versenyz .
1 pontot kapott:10 versenyz .
0 pontot kapott:9 versenyz .


  • A KöMaL 2005. októberi matematika feladatai

  • Támogatóink:   Ericsson   Google   Szerencsejáték Zrt.   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet   ELTE   Nemzeti Tehetség Program   Nemzeti
Kulturális Alap