Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 3848. (October 2005)

B. 3848. A convex 100-sided polygon K lies in the interior of a square whose side is 1 metre. Show that it is possible to select three vertices of K, such that they form a triangle of smaller area than 8 cm2.

(5 pont)

Deadline expired on November 15, 2005.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: A sokszög minden egyes oldalát vetítsük le merőlegesen a négyzet azon oldalaira, amelyekre az adott oldal pontjaibol húzott merőlegesek végig a sokszögön kívül haladnak. Így ha valamelyik oldal párhuzamos volt a négyzet egy oldalával, ahhoz egy vele egyenlő hosszúságú vetület tartozik, a többi oldal mindegyikéhez pedig kettő, melyek együttes hossza nagyobb az adott oldalénál. Mivel semelyik két vetületnek nincs közös belső pontja, látható, hogy a sokszög kerülete kevesebb, mint a négyzet kerülete, ami 400 cm. Ebből következik, hogy a sokszögnek van két egymást követő oldala, a és b, melyek együttes hossza kevesebb, mint 8 cm. A számtani és mértani közepekre vonatkozó egyenlőtlenség alapján ab/2\le(a+b)2/8<8 cm2, e két oldal három végpontja tehát megfelelő választás lesz.


Statistics:

81 students sent a solution.
5 points:Árvay Anna, Blázsik Zoltán, Bogár 560 Péter, Bus Norbert, Cseh Ágnes, Csorba János, Dányi Zsolt, Faragó Kornél, Gaizer Tünde, Györgyi Péter, Honner Balázs, Horváth 385 Vanda, Károlyi Gergely, Károlyi Márton, Kassay Gábor, Kovács 111 Péter, Kovács 129 Péter, Kunovszki Péter, Mészáros Gábor, Nagy 100 Réka, Nagy 235 János, Nagy 314 Dániel, Németh 007 Zsolt, Németh 546 Attila György, Pásztor Attila, Peregi Tamás, Pesti Veronika, Sümegi Károly, Szaller Dávid, Szalóki Dávid, Szirmai Péter, Szőke Nóra, Szudi László, Szűcs Gergely, Tomon István, Tossenberger Anna, Udvari Balázs, Varga 171 László, Zentai 222 Barbara.
4 points:23 students.
3 points:2 students.
2 points:5 students.
0 point:12 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2005