KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

Kifordítható

tetraéder

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 3849. A fair coin is tossed until both outcomes, i.e. heads and tails are obtained at least once. What is the expected value of the number of tosses needed?

(5 points)

Deadline expired on 15 November 2005.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás: Legalább két dobásra van szükség. Ha i\ge2, akkor annak valószínűsége, hogy pontosan i dobásra van szükség, éppen 1/2i-1, a keresett várható érték tehát

E=\sum_{i=2}^\infty {i\over 2^{i-1}}.

Teljes indukcióval könnyen megmutatható, hogy i\ge4 esetén i<(8/5)i-1. A fenti csupa pozitív tagból álló végtelen sor tehát konvergens, hiszen felülről becsülhető a konvergens

1+{3\over 4}+\sum_{i=4}^\infty \Bigl({4\over 5}\Bigr)^{i-1}=
1+{3\over 4}+\Bigl({4\over 5}\Bigr)^3\cdot {1\over 1-{4\over 5}}

összeggel. Így E értékét kiszámolhatjuk a sor átrendezésével:

E=2\sum_{i=1}^\infty {1\over 2^i}+\sum_{i=2}^\infty \sum_{j=i}^\infty
{1\over 2^j}= 2+\sum_{i=2}^\infty {1\over 2^{i-1}}=2+1=3.


Statistics on problem B. 3849.
184 students sent a solution.
5 points:147 students.
4 points:3 students.
3 points:4 students.
2 points:6 students.
1 point:5 students.
0 point:19 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, October 2005

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley