Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 3849. (October 2005)

B. 3849. A fair coin is tossed until both outcomes, i.e. heads and tails are obtained at least once. What is the expected value of the number of tosses needed?

(5 pont)

Deadline expired on November 15, 2005.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Legalább két dobásra van szükség. Ha i\ge2, akkor annak valószínűsége, hogy pontosan i dobásra van szükség, éppen 1/2i-1, a keresett várható érték tehát

E=\sum_{i=2}^\infty {i\over 2^{i-1}}.

Teljes indukcióval könnyen megmutatható, hogy i\ge4 esetén i<(8/5)i-1. A fenti csupa pozitív tagból álló végtelen sor tehát konvergens, hiszen felülről becsülhető a konvergens

1+{3\over 4}+\sum_{i=4}^\infty \Bigl({4\over 5}\Bigr)^{i-1}=
1+{3\over 4}+\Bigl({4\over 5}\Bigr)^3\cdot {1\over 1-{4\over 5}}

összeggel. Így E értékét kiszámolhatjuk a sor átrendezésével:

E=2\sum_{i=1}^\infty {1\over 2^i}+\sum_{i=2}^\infty \sum_{j=i}^\infty
{1\over 2^j}= 2+\sum_{i=2}^\infty {1\over 2^{i-1}}=2+1=3.


Statistics:

184 students sent a solution.
5 points:147 students.
4 points:3 students.
3 points:4 students.
2 points:6 students.
1 point:5 students.
0 point:19 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2005