KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 3849. (October 2005)

B. 3849. A fair coin is tossed until both outcomes, i.e. heads and tails are obtained at least once. What is the expected value of the number of tosses needed?

(5 pont)

Deadline expired on 15 November 2005.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Legalább két dobásra van szükség. Ha i\ge2, akkor annak valószínűsége, hogy pontosan i dobásra van szükség, éppen 1/2i-1, a keresett várható érték tehát

E=\sum_{i=2}^\infty {i\over 2^{i-1}}.

Teljes indukcióval könnyen megmutatható, hogy i\ge4 esetén i<(8/5)i-1. A fenti csupa pozitív tagból álló végtelen sor tehát konvergens, hiszen felülről becsülhető a konvergens

1+{3\over 4}+\sum_{i=4}^\infty \Bigl({4\over 5}\Bigr)^{i-1}=
1+{3\over 4}+\Bigl({4\over 5}\Bigr)^3\cdot {1\over 1-{4\over 5}}

összeggel. Így E értékét kiszámolhatjuk a sor átrendezésével:

E=2\sum_{i=1}^\infty {1\over 2^i}+\sum_{i=2}^\infty \sum_{j=i}^\infty
{1\over 2^j}= 2+\sum_{i=2}^\infty {1\over 2^{i-1}}=2+1=3.


Statistics:

184 students sent a solution.
5 points:147 students.
4 points:3 students.
3 points:4 students.
2 points:6 students.
1 point:5 students.
0 point:19 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley