KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 3850. (October 2005)

B. 3850. Consider the areas and perimeters of the rectangular sections of a regular tetrahedron of unit edge. In what intervals do they vary?

(4 pont)

Deadline expired on November 15, 2005.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: A téglalap csúcsai egy S síkon helyezkednek el, ez el kell hogy válassza a tetraéder két élét, mondjuk az AB és CD éleket. A téglalapnak az ABC háromszög lapra illeszkedő élével párhuzamos oldalának végpontjai az ABC síktól ugyanolyan távolságra helyezkednek el az AD illetve BD éleken. Ez csak úgy lehetséges, hogy ezen oldal végpontjai a D csúcstól egyenlő távolságra vannak, vagyis az oldal párhuzamos az AB egyenessel. Ugyanilyen alapon a téglalap másik oldalpárja a CD egyenessel kell legyen párhuzamos, az S sík tehát párhuzamos a kitérő AB és CD élekkel. Ebből következik, hogy ha a téglalap egyik oldala x (ez 0 és 1 között tetszőleges értéket felvehet), akkor másik oldala 1-x hosszúságú. A téglalap kerülete tehát mindenképpen 2 egységnyi.

A téglalap területe x(1-x). Az f(x)=x(1-x) függvény grafikonja egy lefelé nyitott parabola, mely az x tengelyt a (0,0) és (1,0) pontokban metszi, csúcsa pedig az (1/2,1/4) pontban van. A téglalap területe tehát tetszőleges olyan pozitív szám lehet, mely 1/4-nél nem nagyobb, a maximális 1/4 értéket pedig pontosan akkor veszi fel, ha az S sík az AB és CD élektől egyenlő távolságra halad.


Statistics:

79 students sent a solution.
4 points:59 students.
3 points:13 students.
2 points:7 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley