Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 3850. (October 2005)

B. 3850. Consider the areas and perimeters of the rectangular sections of a regular tetrahedron of unit edge. In what intervals do they vary?

(4 pont)

Deadline expired on November 15, 2005.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: A téglalap csúcsai egy S síkon helyezkednek el, ez el kell hogy válassza a tetraéder két élét, mondjuk az AB és CD éleket. A téglalapnak az ABC háromszög lapra illeszkedő élével párhuzamos oldalának végpontjai az ABC síktól ugyanolyan távolságra helyezkednek el az AD illetve BD éleken. Ez csak úgy lehetséges, hogy ezen oldal végpontjai a D csúcstól egyenlő távolságra vannak, vagyis az oldal párhuzamos az AB egyenessel. Ugyanilyen alapon a téglalap másik oldalpárja a CD egyenessel kell legyen párhuzamos, az S sík tehát párhuzamos a kitérő AB és CD élekkel. Ebből következik, hogy ha a téglalap egyik oldala x (ez 0 és 1 között tetszőleges értéket felvehet), akkor másik oldala 1-x hosszúságú. A téglalap kerülete tehát mindenképpen 2 egységnyi.

A téglalap területe x(1-x). Az f(x)=x(1-x) függvény grafikonja egy lefelé nyitott parabola, mely az x tengelyt a (0,0) és (1,0) pontokban metszi, csúcsa pedig az (1/2,1/4) pontban van. A téglalap területe tehát tetszőleges olyan pozitív szám lehet, mely 1/4-nél nem nagyobb, a maximális 1/4 értéket pedig pontosan akkor veszi fel, ha az S sík az AB és CD élektől egyenlő távolságra halad.


Statistics:

79 students sent a solution.
4 points:59 students.
3 points:13 students.
2 points:7 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2005