KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 3853. Construct by ruler and compass a line of a given direction that halves the area of a given triangle.

(4 points)

Deadline expired on 15 December 2005.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás: Világos, hogy a feladatnak mindig egy megoldása van. Húzzunk az adott iránnyal párhuzamos egyeneseket a háromszög csúcsain keresztül. A középső egyenes illeszkedjék a B csúcsra, és messe az AC oldalt a P pontban (elképzelhető, hogy ez egybeesik valamelyik csúccsal). Ha P az AC oldal felezőpontja, akkor készen vagyunk, egyébként pedig feltehetjük, hogy AP>CP. A szerkesztendő egyenes az AB szakaszt X, az AP szakaszt Y pontban metszi úgy, hogy AX.AY=AB.AC/2. A párhuzamos szelők tétele szerint AX/AY=AB/AP. Innen AX2=AB2AC/2AP. Ha a C csúcson áthaladó, BP-vel párhuzamos egyenes az AB félegyeneset a Q pontban metszi, akkor AQ/AC=AB/AP, vagyis AX2=(AB/2)AQ. Innen az AX szakasz hosszát a magasságtétel alapján így szerkeszthetjük meg. Egy egyenesen közös T kezdőpontból ellentétes irányba felmérjük az AB/2 és AQ szakaszokat. Az így nyert szakasz fölé Thalesz-kört rajzolunk. Ha az egyenesre T-ben állított merőleges a kört S-ben metszi, akkor TS2=(AB/2)AQ, vagyis TS=AX.


Statistics on problem B. 3853.
100 students sent a solution.
4 points:59 students.
3 points:15 students.
2 points:12 students.
1 point:9 students.
0 point:5 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, November 2005

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley