KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 3854. Is there a triangle, such that the triangle formed by its medians is similar to the triangle?

(4 points)

Deadline expired on 15 December 2005.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás: Legyenek a háromszög oldalai a\leb\lec, a megfelelő súlyvonalak pedig sa,sb,sc. A parelelogramma-szabályból levezethető jól ismert összefüggés szerint 4sa2=2c2+2b2-a2, 4sb2=2c2+2a2-b2 és 4sc2=2a2+2b2-c2. Látható, hogy sa\gesb\gesc, ezért a feladat megvalósíthatóságának szükséges és elégséges feltétele

2c^2+2b^2-a^2\ :\ 2c^2+2a^2-b^2\ :\ 2a^2+2b^2-c^2=c^2\ :\ b^2\ :\ a^2.

Az A=a2,B=b2,C=c2 jelöléseket bevezetve, ez ekvivalens azzal, hogy a

2BC+2B^2-AB=2C^2+2AC-BC\ \hbox{\rm és} \ 2AC+2A^2-AB=2AB+2B^2-BC

egyenlőségek egyszerre teljesülnek. A két egyenletet összeadva, rendezés után a

0=A2+2BC-C2-2AB=(A-C)(A+C-2B)

egyenletre jutunk. Ha A=C, akkor a háromszög szabályos, ellenkező esetben szükségképpen A+C-2B=0, vagyis C=2B-A, ami mellesleg abban az esetben is teljesül, ha a háromszög szabályos. Megfordítva, könnyű ellenőrizni, hogy C=2B-A esetén mindkét fenti egyenlőség teljesül. A feladat tehát pontosan akkor valósítható meg, ha c2=2b2-a2. Ez teljesül például abban a derékszögű háromszögben, amelyben a=1, b=\sqrt{2} és c=\sqrt{3}.


Statistics on problem B. 3854.
87 students sent a solution.
4 points:Almási 270 Gábor András, Blázsik Zoltán, Csaba Ákos, Cséke Balázs, Csizmadija Laura, Dányi Zsolt, Gyöngyösi Zsolt, Győrffy Lajos, Gyurcsik Judit, Honner Balázs, Károlyi Gergely, Károlyi Márton, Kiss 243 Réka, Kiss Blanka, Klimaj Zoltán, Komáromy Dani, Kornis Bence, Kostyák Zsigmond, Kovács 111 Péter, Kovács 129 Péter, Kunovszki Péter, Kurgyis Eszter, Kutas Péter, Lamm Éva, Láng Marcell, Mészáros Gábor, Müller Márk, Nagy 235 János, Németh 546 Attila György, Pap Máté, Rimay Zoé, Salát Zsófia, Sárkány Lőrinc, Sümegi Károly, Szabó 108 Tamás, Szalóki Dávid, Szécsényi Ágnes, Szeles Annamária, Szudi László, Szűcs Gergely, Tomon István, Tossenberger Anna, Tóth Réka Judit.
3 points:12 students.
2 points:5 students.
1 point:2 students.
0 point:25 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, November 2005

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley