KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 3856. (November 2005)

B. 3856. Show that if a2+b2=a2b2, and |a|\ne1, |b|\ne1, then


\frac{a^7}{{(1-a)}^2}- \frac{a^7}{{(1+a)}^2}= \frac{b^7}{{(1-b)}^2}- \frac{b^7}{{(1+b)}^2}.

(3 pont)

Deadline expired on 15 December 2005.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: A feltételek alapján mindegyik tört értelmes. A nevezőkkel való felszorzás és 2-vel történő leosztás után a bizonyítandó egyenlőség az

a8(1-b)2(1+b)2=b8(1-a)2(1+a)2

alakot ölti. Ezt az A=a2, B=b2 jelölésekkel A4(1-B)2=B4(1-A)2 alakba írhatjuk át. Elegendő tehát az A2(1-B)=B2(1-A) egyenlőséget igazolni. A zárójelek kibontása és rendezés után ez így néz ki: A2-B2+AB2-BA2=0. A baloldali kifejezést (A-B)(A+B-AB) szorzat alakban felírva az állítás leolvasható, hiszen az első feltétel miatt itt a második tényező 0-val egyenlő.


Statistics:

245 students sent a solution.
3 points:129 students.
2 points:64 students.
1 point:24 students.
0 point:27 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley