Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 3857. (November 2005)

B. 3857. One base and the two legs of a trapezium each have unit length. What should be the length of the other base so that the trapezium has the largest possible area?

(4 pont)

Deadline expired on December 15, 2005.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Ha a trapéz másik alapja 1-nél rövidebb, akkor a szárakat kifelé fordítva olyan trapézt kapunk, amelynek magassága ugyanannyi, de az alapja már 1-nél hosszabb. Feltehetjük tehát, hogy a trapéz alapja 1+2x, ahol x\ge0. Az x=0 esetben azt is feltehetjük, hogy a trapéz magassága 1, így általában is igaz lesz, hogy a trapéz magassága m=\sqrt{1-x^2}. Egy ilyen trapéz területe t=(1+x)m, ami akkor a legnagyobb, ha

t2=(1+x)2m2=(1+x)2(1-x2)=(1+x)3(1-x)

a lehető legnagyobb. A számtani és mértani közepek között fennálló egyenlőtlenség szerint azonban

\root4\of{t^2\over 27}=\root4\of{\Bigl({1+x\over 3}\Bigr)^3(1-x)}\le
{{1+x\over 3}+{1+x\over 3}+{1+x\over 3}+(1-x)\over 4}={1\over 2},

ahol egyenlőség pontosan az {1+x\over 3}=1-x, vagyis x={1\over 2} esetben áll fenn. A trapéz területe tehát akkor a lehető legnagyobb, ha másik alapjának hossza 2 egység, ekkor területe t=3\sqrt{3}/4 területegység.


Statistics:

213 students sent a solution.
4 points:Cseh Ágnes, Dombi Soma, Dudás László, Faragó Kornél, Farkas Márton, Fegyverneki Tamás, Gyurcsik Judit, Hegyi Péter, Horváth 151 Gábor, Kardos Kinga Gabriela, Károlyi Márton, Kovács 129 Péter, Lamm Éva, Lovász László Miklós, Magda Gábor, Mészáros Gábor, Müller Márk, Nagy Gergely Gábor, Orosz Katalin, Quittner Bence, Szabó 108 Tamás.
3 points:108 students.
2 points:44 students.
1 point:24 students.
0 point:12 students.
Unfair, not evaluated:4 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2005