A B. 3858. feladat (2005. november)

B. 3858. Egy főútvonalon végighaladva nyolc helyen van közlekedési lámpa. Annak valószínűsége, hogy egy lámpa éppen pirosat jelez, amikor odaérünk, 0,4. Mekkora annak a valószínűsége, hogy nem találkozunk közvetlenül egymás után két tilos jelzéssel?

(4 pont)

A beküldési határidő 2005. december 15-én LEJÁRT.

Megoldás: Legyen p=0,4 és q=1-p=0,6. Annak a valószínűsége, hogy utunk során valamilyen rögzített sorrendben a8 darab piros lámpával és 8-a=b számú zölddel találkozunk, p^aq^b. Ha nem találkozunk egymás után két tilos jelzéssel, akkor biztosan a4. Vizsgáljuk meg, hogy a egyes értékei esetén hány különböző sorrendben fordulhat ez elő. Ha a=0, akkor adott a sorrend: minden lámpa zöldet jelez. Ha a=1, akkor az egyetlen tilos jelzés 8 különböző helyen fordulhat elő. Ha a=4, akkor a zöld és piros lámpák felváltva kell, hogy egymást kövessék azzal a megjegyzéssel, hogy valahol lehet egymás után két zöld, ez öt lehetőség. Ha a=2, akkor a különböző lehetőségek száma 6+5+4+3+2+1=21=h(6), ahol h(n) az n-edik háromszög-számot jelöli. Ugyanis ha először az i-edik lámpánál kapunk pirosat (1i6), akkor a második piros jelzésre 7-i különböző helyen kerülhet sor. Ez a gondolat azt is mutatja, hogy a=3 esetén, ha először az i-edik lámpánál kapunk tilosat (1i4), akkor a további két piros lámpára összesen h(5-i) különböző helyen kerülhet sor. összesen tehát h(4)+h(3)+h(2)+h(1)=10+6+3+1=20 különböző sorrendben kaphatunk három tilos jelzést. Ezek alapján a keresett valószínűség

q⁸+8pq⁷+21p²q⁶+20p³q⁵+5p⁴q⁴0,38.

Statisztika:

158 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	82 versenyző.
3 pontot kapott:	35 versenyző.
2 pontot kapott:	8 versenyző.
1 pontot kapott:	11 versenyző.
0 pontot kapott:	21 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2005. novemberi matematika feladatai