Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem B. 3860. (November 2005)

B. 3860. The ``length'' of an elliptical tabletop is 160 cm and its ``width'' is 1 m. Is it possible to cover the table completely with a 140 cm×130 cm tablecloth?

(5 pont)

Deadline expired on December 15, 2005.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Tekintsünk egy tetszőleges ellipszist, egyik fókuszának a nagytengely végpontjaitól vett távolsága legyen f illetve d+f, ahol tehát d a két fókuszpont távolsága. Írjunk az ellipszis köré egy T téglalapot, majd húzzunk a fókuszpontokon át párhuzamosokat a téglalap oldalaival, ezek egy kisebb T' téglalapot zárnak közre. T oldalait jelölje A,B, a T' megfelelő oldalai pedig legyenek a, illetve b. A fókuszpontoknak T oldalaitól mért távolsága legyen x és y úgy, hogy A=a+2x és B=b+2y. Ismeretes, hogy ha az ellipszis egyik fókuszából annak egy érintőjére merőlegest állítunk, akkor a merőleges talppontja az ellipszis főkörére esik. Ennek alapján látszik, hogy T' oldalegyenesei T oldalait a főkörön metszik. Ezért

x(a+x)=y(a+y)=f(d+f),

hiszen mindhárom szorzat a fókuszpont főkörre vonatkozó hatványa. A Pithagorasz-tétel szerint pedig d2=a2+b2, vagyis

A2+B2=(a+2x)2+(b+2y)2=a2+4x(a+x)+b2+4y(b+y)=d2+8f(d+f)

csak az ellipszistől függő állandó, esetünkben 12+1,62=3,56, a métert tekintve hosszegységnek.

Tekintsük most az adott ellipszis olyan két egymással párhuzamos érintőjét, melyek távosága 1,4. Az előbbiek szerint az erre merőleges két érintő távolsága \sqrt{3,56-1,4^2} =
\sqrt{1,6}<1,3, vagyis az asztal letakarható az adott terítővel.


Statistics:

50 students sent a solution.
5 points:Bogár 560 Péter, Csaba Ákos, Csató László, Cseh Ágnes, Grósz Dániel, Honner Balázs, Károlyi Márton, Kovács 111 Péter, Kovács 129 Péter, Kunovszki Péter, Mészáros Gábor, Nagy 235 János, Németh 546 Attila György, Páldy Sándor, Peregi Tamás, Pesti Veronika, Sárkány Lőrinc, Sommer Dániel, Sümegi Károly, Szabó 108 Tamás, Szakács Nóra, Szalóki Dávid, Szilágyi 987 Csaba, Szűcs Gergely, Tomon István, Udvari Balázs.
2 points:3 students.
1 point:3 students.
0 point:15 students.
Unfair, not evaluated:3 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2005