KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 3861. (November 2005)

B. 3861. Prove that the only real root of the equation x7-14x6+21x5-70x4+35x3-42x2+7x-2=0 is x=2+\root7\of{3} +\root7\of{9} +\dots +\root7\of{3^6}.

Suggested by B. Kovács, Szatmárnémeti

(5 pont)

Deadline expired on 15 December 2005.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Az egyenlet baloldalán az (x-1)7 kifejezés kifejtése szerepel azzal a különbséggel, hogy x páros kitevőjű hatványainak együtthatója helyett annak kétszerese áll. Ugyanezt az (x+1)7 kifejtéséből is megkaphatjuk, ha a páros kitevőjű tagok együtthatóját (-2)-vel szorozzuk. Innen látszik, hogy az egyenletet

{3(x-1)^7-(x+1)^7\over 2}=0

alakra hozhatjuk, vagyis 3(x-1)7=(x+1)7. Mivel az f(x)=x7 függvény szigorúan monoton nő, ez ekvivalens a \root7\of3 (x-1)=x+1 egyenlettel, amelynek egyetlen megoldása

x={\root7\of3 +1\over \root7\of3 -1}=1+{3-1\over \root7\of3 -1}=
2+\root7\of3+\root7\of9 +\dots +\root7\of{3^6}.


Statistics:

51 students sent a solution.
5 points:Blázsik Zoltán, Bogár 560 Péter, Csaba Ákos, Csató László, Cseh Ágnes, Honner Balázs, Horváth 385 Vanda, Kardos Kinga Gabriela, Komáromy Dani, Korándi Dániel, Kovács 111 Péter, Kovács 129 Péter, Kunovszki Péter, Mészáros Gábor, Nagy 235 János, Németh 007 Zsolt, Peregi Tamás, Pesti Veronika, Szakács Nóra, Szalóki Dávid, Szentandrási István, Szilágyi 987 Csaba, Szűcs Gergely, Ta Phuong Linh, Tomon István, Tossenberger Anna, Varga 171 László, Werner Miklós.
4 points:Almási 270 Gábor András, Balogh Ádám, Berna Zoltán, Csorba János, Dányi Zsolt, Farkas Márton, Heinczinger Ádám, Károlyi Márton, Mercz Béla, Miklós Rozália, Páldy Sándor, Priksz Ildikó, Sárkány Lőrinc, Udvari Balázs.
3 points:4 students.
1 point:1 student.
0 point:4 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley