KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 3863. Show that the number


1^{2006}-2^{2006}+3^{2006}-4^{2006}+\ldots-2004^{2006}+2005^{2006}

is divisible by 1003. Is it also divisible by 2006?

(3 points)

Deadline expired on 16 January 2006.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás:

Írjuk át a szóban forgó számot

\sum_{i=1}^{1002}(-1)^i\bigl\{ (i+1003)^{2006}-i^{2006}\bigr\}+1003^{2006}

alakra. Ha a\neb egész számok, n pedig tetszőleges természetes szám, akkor an-bn osztható (a-b)-vel. Ennek alapján az állí tást könnyűszerrel leolvashatjuk. Másrészt a számot úgy kapjuk, hogy 1003 páratlan szám összegéből vonunk le páros számokat, vagyis a szám maga páratlan, így 2006-tal már nem osztható.


Statistics on problem B. 3863.
239 students sent a solution.
3 points:189 students.
2 points:20 students.
1 point:17 students.
0 point:13 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, December 2005

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley