Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 3863. (December 2005)

B. 3863. Show that the number


1^{2006}-2^{2006}+3^{2006}-4^{2006}+\ldots-2004^{2006}+2005^{2006}

is divisible by 1003. Is it also divisible by 2006?

(3 pont)

Deadline expired on January 16, 2006.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás:

Írjuk át a szóban forgó számot

\sum_{i=1}^{1002}(-1)^i\bigl\{ (i+1003)^{2006}-i^{2006}\bigr\}+1003^{2006}

alakra. Ha a\neb egész számok, n pedig tetszőleges természetes szám, akkor an-bn osztható (a-b)-vel. Ennek alapján az állí tást könnyűszerrel leolvashatjuk. Másrészt a számot úgy kapjuk, hogy 1003 páratlan szám összegéből vonunk le páros számokat, vagyis a szám maga páratlan, így 2006-tal már nem osztható.


Statistics:

239 students sent a solution.
3 points:189 students.
2 points:20 students.
1 point:17 students.
0 point:13 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2005