Problem B. 3866. (December 2005)
B. 3866. For which point P of an arc AB of a circle does the triangle ABP have the longest perimeter?
(4 pont)
Deadline expired on January 16, 2006.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás: Az APB szög az AB ív minden pontjára ugyankkora, jelöljük -val. Mérjük fel a BP szakasz P-n túli meghosszabbí tására P-ből az AP szakaszt, így kapjuk a P' pontot. Az APP' egyenlő szárú háromszögben tehát az AP'P szög (mely egyenlő az AP'B szöggel) éppen /2<90o. Ha tehát P befutja az AB ívet, akkor P' egy, az AB szakasz fölé rajzolt /2 szöghöz tartozó látóköríven halad végig. Mivel az ABP háromszög kerülete AB+BP', ez akkor lesz maximális, ha BP' a lehető legnagyobb, vagyis ha éppen az előbb említett látókörív egy átmérője. Ez akkor következik be, ha a BAP' szög derékszög, vagyis ha a P pont éppen a BP' szakasz felezőpontja, amikor is BP=PP'=AP. P-t tehát az adott AB ív felezőpontjának kell választanunk.
Statistics:
164 students sent a solution. 4 points: 109 students. 3 points: 21 students. 2 points: 10 students. 1 point: 3 students. 0 point: 21 students.
Problems in Mathematics of KöMaL, December 2005