KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 3866. (December 2005)

B. 3866. For which point P of an arc AB of a circle does the triangle ABP have the longest perimeter?

(4 pont)

Deadline expired on 16 January 2006.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Az APB szög az AB ív minden pontjára ugyankkora, jelöljük \alpha-val. Mérjük fel a BP szakasz P-n túli meghosszabbí tására P-ből az AP szakaszt, így kapjuk a P' pontot. Az APP' egyenlő szárú háromszögben tehát az AP'P szög (mely egyenlő az AP'B szöggel) éppen \alpha/2<90o. Ha tehát P befutja az AB ívet, akkor P' egy, az AB szakasz fölé rajzolt \alpha/2 szöghöz tartozó látóköríven halad végig. Mivel az ABP háromszög kerülete AB+BP', ez akkor lesz maximális, ha BP' a lehető legnagyobb, vagyis ha éppen az előbb említett látókörív egy átmérője. Ez akkor következik be, ha a BAP' szög derékszög, vagyis ha a P pont éppen a BP' szakasz felezőpontja, amikor is BP=PP'=AP. P-t tehát az adott AB ív felezőpontjának kell választanunk.


Statistics:

164 students sent a solution.
4 points:109 students.
3 points:21 students.
2 points:10 students.
1 point:3 students.
0 point:21 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley