Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 3867. (December 2005)

B. 3867. Let n denote a positive integer, such that 4n+2n+1 is a prime number. Prove that n is an integer power of 3.

(5 pont)

Deadline expired on January 16, 2006.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Tegyük fel, hogy n=3km, ahol m 1-nél nagyobb, 3-mal nem osztható egész szám. Ekkor

A=4^n+2^n+1={2^{3n}-1\over 2^n-1}={2^{3^{k+1}m}-1\over 2^n-1}
={CB\over 2^n-1},

ahol C=23k+1-1, a B egész számra pedig

B>23k+1(m-1)>23km>2n-1.

Meg fogjuk mutatni, hogy a C és 2n-1 számok legnagyobb közös osztója,

D=(C,2n-1)=(23k+1-1,2n-1)=23k-1.

Ekkor az E=(2n-1)/D jelöléssel A=(C/D)(B/E), ahol mindkét tényező 1-nél nagyobb egész szám, amiértis A nem lehet prímszám.

Most már csak a D-re vonatkozó állításunkat kell igazolni. Vegyük észre, hogy ha a,b pozitív egészek, akkor 2a-1 pontosan akkor osztója (2b-1)-nek, ha a osztója b-nek. Valóban, ha b=qa+r, ahol 0\ler<a, akkor

2b-1=2r((2a)q-1)+(2r-1)

pontosan akkor osztható (2a-1)-gyel, ha r=0. Ebből az észrevételből könnyen levezethető, hogy

(2K-1,2L-1)=2(K,L)-1

teljesül minden K,L pozitív egészre; D-re vonatkozó állításunk pedig ennek speciális esete.


Statistics:

51 students sent a solution.
5 points:Balogh 147 Ádám, Bogár 560 Péter, Csató László, Dányi Zsolt, Gaizer Tünde, Honner Balázs, Károlyi Márton, Kornis Kristóf, Kovács 111 Péter, Kutas Péter, Lovász László Miklós, Mészáros Gábor, Milotai Zoltán, Németh 007 Zsolt, Pesti Veronika, Szabó 108 Tamás, Szakács Nóra, Szalóki Dávid, Szilágyi 987 Csaba, Szűcs Gergely, Tomon István, Varga 171 László, Véges Márton, Wolosz János.
4 points:Blázsik Zoltán, Cseh Ágnes, Sümegi Károly, Szirmai Péter, Tossenberger Anna, Zieger Milán.
3 points:2 students.
1 point:6 students.
0 point:11 students.
Unfair, not evaluated:2 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2005