Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 3868. (December 2005)

B. 3868. It is well known that cos 2x can be expressed as a polynomial of cos x: cos 2x=2cos2x-1. Is it possible to express sin 2x as a polynomial of sin x?

(4 pont)

Deadline expired on January 16, 2006.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Tegyük fel, hogy létezik olyan p polinom, hogy sin 2x=p(sin x) teljesül minden x valós számra. Ekkor x=0 esetén p(0)=0 adódik, vagyis alkalmas q polinommal p(t)=tq(t). A sin 2x=2sin xcos x összfüggés alapján tehát 2cos x=q(sin x), valahányszor x nem \pi egész számú többszöröse. A két függvény folytonossága miatt az egyenlőségnek a kivételes helyeken is fenn kell állni. Ekkor azonban

2=2cos 0=q(sin 0)=q(sin \pi)=2cos \pi=-2

lenne. Ez az ellentmondás igazolja, hogy a feltételezett p polinom nem létezik.


Statistics:

78 students sent a solution.
4 points:Blázsik Zoltán, Csaba Ákos, Csató László, Cserép Máté, Csorba János, Dányi Zsolt, Farkas Ádám László, Gresits Iván, Győrffy Lajos, Komáromy Dani, Kovács 111 Péter, Kovács 129 Péter, Kriván Bálint, Kutas Péter, Lovász László Miklós, Magda Gábor, Maknics Anita, Nagy 235 János, Nagy-Baló András, Németh 007 Zsolt, Peregi Tamás, Pirkó Dániel, Sóti Gergely, Sümegi Károly, Szabó 108 Tamás, Szakács Nóra, Szentandrási István, Szilágyi 987 Csaba, Szirmai Péter, Szudi László, Szűcs Gergely, Tomon István, Tossenberger Anna, Török Balázs, Udvari Balázs, Varga 111 Péter, Varga 171 László, Véges Márton, Virányi Lóránd, Werner Miklós.
3 points:14 students.
1 point:9 students.
0 point:15 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2005