 |
A B. 3868. feladat (2005. december) |
B. 3868. Ismeretes, hogy cos 2x előáll cos x polinomjaként:
cos 2x=2cos2x-1.
Előállítható-e sin 2x a sin x polinomjaként?
(4 pont)
A beküldési határidő 2006. január 16-án LEJÁRT.
Megoldás: Tegyük fel, hogy létezik olyan p polinom, hogy sin 2x=p(sin x) teljesül minden x valós számra. Ekkor x=0 esetén p(0)=0 adódik, vagyis alkalmas q polinommal p(t)=tq(t). A sin 2x=2sin xcos x összfüggés alapján tehát 2cos x=q(sin x), valahányszor x nem 
egész számú többszöröse. A két függvény folytonossága miatt az egyenlőségnek a kivételes helyeken is fenn kell állni. Ekkor azonban
2=2cos 0=q(sin 0)=q(sin )=2cos =-2
lenne. Ez az ellentmondás igazolja, hogy a feltételezett p polinom nem létezik.
Statisztika:
78 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: Blázsik Zoltán, Csaba Ákos, Csató László, Cserép Máté, Csorba János, Dányi Zsolt, Farkas Ádám László, Gresits Iván, Győrffy Lajos, Komáromy Dani, Kovács 111 Péter, Kovács 129 Péter, Kriván Bálint, Kutas Péter, Lovász László Miklós, Magda Gábor, Maknics Anita, Nagy 235 János, Nagy-Baló András, Németh 007 Zsolt, Peregi Tamás, Pirkó Dániel, Sóti Gergely, Sümegi Károly, Szabó 108 Tamás, Szakács Nóra, Szentandrási István, Szilágyi 987 Csaba, Szirmai Péter, Szudi László, Szűcs Gergely, Tomon István, Tossenberger Anna, Török Balázs, Udvari Balázs, Varga 111 Péter, Varga 171 László, Véges Márton, Virányi Lóránd, Werner Miklós. 3 pontot kapott: 14 versenyző. 1 pontot kapott: 9 versenyző. 0 pontot kapott: 15 versenyző.
A KöMaL 2005. decemberi matematika feladatai