Problem B. 3869. (December 2005)
B. 3869. Point M lies on the angle bisector drawn from vertex A, inside an acute-angled triangle ABC. The other intersections of the lines AM, BM, CM with the circumscribed circle are A1, B1 and C1, respectively. The lines AB and C1A1 intersect at L, and the lines AC and B1A1 intersect at N. Prove that LN is parallel to BC.
(5 pont)
Deadline expired on January 16, 2006.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás: Mivel AA1 felezi a BAC szöget, a BA1 és CA1 ívek egyenlők. A kerületi szögek tétele alapján tehát a mellékelt ábrán számos egymással egyenlő szöget fedezhetünk fel. Így például
és
Ezért az NCB1 háromszög hasonló az MA1B1 háromszöghöz, amiért is NC/MA1=B1C/B1A1, továbbá AC/AM=C1A1/C1M is leolvasható az ACM és C1A1M háromszögek hasonlóságából. A két egyenlőséget összevetve kapjuk, hogy
Ugyanígy kapjuk szimmetria okok miatt az
egyenlőséget. A két egyenlőséget egymással elosztva kapjuk, hogy
Mármost és
miatt a C1BM és B1CM háromszögek is hasonlók, vagyis a jobboldalon álló arány 1-gyel egyenlő. Ezért NC/AC=LB/AB, és a párhuzamos szelők tételének megfordítása adja a bizonyítandó állítást.
Statistics:
59 students sent a solution. 5 points: 55 students. 4 points: 1 student. 2 points: 1 student. 0 point: 2 students.
Problems in Mathematics of KöMaL, December 2005