KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 3869. Point M lies on the angle bisector drawn from vertex A, inside an acute-angled triangle ABC. The other intersections of the lines AM, BM, CM with the circumscribed circle are A1, B1 and C1, respectively. The lines AB and C1A1 intersect at L, and the lines AC and B1A1 intersect at N. Prove that LN is parallel to BC.

(5 points)

Deadline expired on 16 January 2006.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás: Mivel AA1 felezi a BAC szöget, a BA1 és CA1 ívek egyenlők. A kerületi szögek tétele alapján tehát a mellékelt ábrán számos egymással egyenlő szöget fedezhetünk fel. Így például

CB_1N\sph=CAM\sph=A_1C_1M\sph,\quad B_1CN\sph=B_1A_1M\sph=MBA\sph

és

ACM\sph=C_1A_1M\sph=C_1BA\sph.

Ezért az NCB1 háromszög hasonló az MA1B1 háromszöghöz, amiért is NC/MA1=B1C/B1A1, továbbá AC/AM=C1A1/C1M is leolvasható az ACM és C1A1M háromszögek hasonlóságából. A két egyenlőséget összevetve kapjuk, hogy

{NC\over MA_1}:{AC\over AM}={B_1C\over A_1B_1}:{A_1C_1\over MC_1}.

Ugyanígy kapjuk szimmetria okok miatt az

{LB\over MA_1}:{AB\over AM}={C_1B\over A_1C_1}:{A_1B_1\over MB_1}

egyenlőséget. A két egyenlőséget egymással elosztva kapjuk, hogy

{NC\over AC}:{LB\over AB}={B_1C\over MB_1}:{C_1B\over MC_1}.

Mármost CB_1M\sph=BC_1M\sph és

C_1BM\sph=C_1BA\sph+MBA\sph=ACM\sph+B_1CN\sph=B_1CM\sph

miatt a C1BM és B1CM háromszögek is hasonlók, vagyis a jobboldalon álló arány 1-gyel egyenlő. Ezért NC/AC=LB/AB, és a párhuzamos szelők tételének megfordítása adja a bizonyítandó állítást.


Statistics on problem B. 3869.
59 students sent a solution.
5 points:55 students.
4 points:1 student.
2 points:1 student.
0 point:2 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, December 2005

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley