KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 3871. (December 2005)

B. 3871. Solve the equation

x2-x-1=2x-log2(x2+2x)

on the set of positive numbers.

(5 pont)

Deadline expired on January 16, 2006.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Írjuk át az egyenletet

(x2+2x)+log2(x2+2x)=2x+1+(x+1)

alakra, ekkor az A=x2+2x és B=2x+1 jelöléssel A+log2A=B+log2B, ahol A,B pozitív számok. Mivel a pozitív számok halmazán az x+log2x függvény szigorúan monoton növekedő, A=B kell, hogy teljesüljön. Ezért x2=2x, ahonnan x>0 miatt x=2log2x. Mivel az f(x)=2log2x függvény grafikonja a pozitív félegyenesen alulról szigorúan konkáv, azt az y=x egyenes legfeljebb 2 pontban metszheti, ami be is következik x=2, illetve x=4 esetén. Ezek az x értékek pedig az eredeti egyenletnek is megoldásai.


Statistics:

68 students sent a solution.
5 points:Dányi Zsolt, Honner Balázs, Kardos Kinga Gabriela, Károlyi Márton, Komáromy Dani, Kovács 111 Péter, Kovács 129 Péter, Mészáros Gábor, Németh 546 Attila György, Páldy Sándor, Sümegi Károly, Szakács Nóra, Szalkai Balázs, Szalóki Dávid, Szilágyi 987 Csaba, Szolnoki Lénárd, Szűcs Gergely, Tomon István, Udvari Balázs, Werner Miklós.
4 points:Cserép Gergely, Csorba János, Károlyi Gergely, Mercz Béla, Nagy 235 János, Peregi Tamás, Sárkány Lőrinc, Szudi László, Véges Márton.
3 points:17 students.
2 points:3 students.
1 point:8 students.
0 point:9 students.
Unfair, not evaluated:2 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley