Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 3871. (December 2005)

B. 3871. Solve the equation

x2-x-1=2x-log2(x2+2x)

on the set of positive numbers.

(5 pont)

Deadline expired on January 16, 2006.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Írjuk át az egyenletet

(x2+2x)+log2(x2+2x)=2x+1+(x+1)

alakra, ekkor az A=x2+2x és B=2x+1 jelöléssel A+log2A=B+log2B, ahol A,B pozitív számok. Mivel a pozitív számok halmazán az x+log2x függvény szigorúan monoton növekedő, A=B kell, hogy teljesüljön. Ezért x2=2x, ahonnan x>0 miatt x=2log2x. Mivel az f(x)=2log2x függvény grafikonja a pozitív félegyenesen alulról szigorúan konkáv, azt az y=x egyenes legfeljebb 2 pontban metszheti, ami be is következik x=2, illetve x=4 esetén. Ezek az x értékek pedig az eredeti egyenletnek is megoldásai.


Statistics:

68 students sent a solution.
5 points:Dányi Zsolt, Honner Balázs, Kardos Kinga Gabriela, Károlyi Márton, Komáromy Dani, Kovács 111 Péter, Kovács 129 Péter, Mészáros Gábor, Németh 546 Attila György, Páldy Sándor, Sümegi Károly, Szakács Nóra, Szalkai Balázs, Szalóki Dávid, Szilágyi 987 Csaba, Szolnoki Lénárd, Szűcs Gergely, Tomon István, Udvari Balázs, Werner Miklós.
4 points:Cserép Gergely, Csorba János, Károlyi Gergely, Mercz Béla, Nagy 235 János, Peregi Tamás, Sárkány Lőrinc, Szudi László, Véges Márton.
3 points:17 students.
2 points:3 students.
1 point:8 students.
0 point:9 students.
Unfair, not evaluated:2 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2005