KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 3876. (January 2006)

B. 3876. Find the distance between the (non-intersecting) diagonals of two adjacent faces of a unit cube.

Suggested by S. Kiss, Szatmárnémeti

(4 pont)

Deadline expired on February 15, 2006.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

1. megoldás: Legyen a kocka alaplapja ABCD, a fedőlapja EFGH a szokásos módon betűzve. Helyezzük el a kockát úgy a derékszögű koordinátarendszerben, hogy az A csúcs az origóba kerüljön, a B,D és E csúcsok koordinátái pedig rendre (1;0;0), (0;1;0), illetve (0;0;1) legyenek. Szimmetria okok miatt mindegy, melyik két átlót vizsgáljuk, legyenek ezek AF és EG. Az AF átló pontjainak koordinátái (x;0;x), ahol 0\lex\le1, míg az EG átló pontjai (y;y;1), ahol 0\ley\le1. A két átló egy-egy pontjának d távolságát a térbeli Pithagorasz-tétel alapján így határozhatjuk meg:

d^2=(y-x)^2+y^2+(1-x)^2={1\over 2}(x-2y)^2+{3\over 2}\Bigl( x-{2\over 3}
\Bigr)^2+{1\over 3}\ge {1\over 3}.

Itt egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha x=2/3 és y=1/3, vagyis ha az AF átló F-hez közelebbi X, az EG átlónak pedig E-hez közelebbi Y harmadolópontjáról van szó. A két lapátló távolsága ezek szerint 1/ \sqrt{3}.

2. megoldás: Megmutatjuk, hogy az XY szakasz mindkét átlóra merőleges, amiből következik, hogy X és Y a kitérő AF, EG egyenesek két, egymáshoz legközelebb eső pontja. Mind az EGD, mind az AFC sík merőleges a \sqrt{3} hosszúságú BH testátlóra. Ha a BAEH töröttvonal 1/3-ára kicsinyített képét az X pontból indítjuk el, akkor éppen az Y pontba jutunk, vagyis az XY szakasz párhuzamos a BH szakasszal, és egyharmad olyan hosszú. Ezért XY is merőleges az AF és EG egyenesekre, hossza pedig 1/ \sqrt{3}.


Statistics:

144 students sent a solution.
4 points:Almási 270 Gábor András, Anda Roland, Csaba Ákos, Cserép Gergely, Damásdi Eszter, Dányi Zsolt, Elekes Csaba, Farkas Ádám László, Grósz Dániel, Honner Balázs, Horváth 385 Vanda, Imre Gábor, Kardos Kinga Gabriela, Károlyi Gergely, Károlyi Márton, Ketskeméty Kristóf, Kirilly György, Kiss 243 Réka, Komáromy Dani, Kornis Bence, Kovács 129 Péter, Kristóf Panna, Kriván Bálint, Kunovszki Péter, Kutas Péter, Páldy Sándor, Peregi Tamás, Pesti Veronika, Salát Zsófia, Sümegi Károly, Szabó 108 Tamás, Szalkai Balázs, Szalóki Dávid, Szőke Nóra, Tossenberger Anna, Tóth 222 Barnabás, Tóthmérész Lilla, Treszkai László, Udvari Balázs, Werner Miklós.
3 points:34 students.
2 points:12 students.
1 point:10 students.
0 point:44 students.
Unfair, not evaluated:4 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley