Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 3877. (January 2006)

B. 3877. The centroid of the triangle ABC is S, and the midpoint of AB is F. For an interior point P of the line segment AF, consider that point Q of the line PS for which QC and AB are parallel. Let R be the intersection of the lines QA and BC. Prove that the line segment PR halves the area of the triangle ABC.

(4 pont)

Deadline expired on February 15, 2006.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Az ABR és QCR háromszögek hasonlóságából

{QC\over AB} = {CR\over BR}.

Mindkét oldalhoz 1-et hozzádva

{QC+AB\over AB}={CR+BR\over BR}={BC\over BR}

adódik. Mivel pedig CS=2FS, a QCS és PFS háromszögek hasonlósága alapján QC=2PF, vagyis QC+AB=2PF+2BF=2BP. Ezért

BR\cdot BP={AB\cdot BC\over QC+AB}\cdot BP={AB\cdot BC\over 2}.

Mindkét oldalt az ABC szög szinuszának felével beszorozva a feladatban szereplő állítást kapjuk.


Statistics:

91 students sent a solution.
4 points:77 students.
3 points:7 students.
2 points:4 students.
1 point:1 student.
0 point:2 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2006