KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 3877. (January 2006)

B. 3877. The centroid of the triangle ABC is S, and the midpoint of AB is F. For an interior point P of the line segment AF, consider that point Q of the line PS for which QC and AB are parallel. Let R be the intersection of the lines QA and BC. Prove that the line segment PR halves the area of the triangle ABC.

(4 pont)

Deadline expired on 15 February 2006.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Az ABR és QCR háromszögek hasonlóságából

{QC\over AB} = {CR\over BR}.

Mindkét oldalhoz 1-et hozzádva

{QC+AB\over AB}={CR+BR\over BR}={BC\over BR}

adódik. Mivel pedig CS=2FS, a QCS és PFS háromszögek hasonlósága alapján QC=2PF, vagyis QC+AB=2PF+2BF=2BP. Ezért

BR\cdot BP={AB\cdot BC\over QC+AB}\cdot BP={AB\cdot BC\over 2}.

Mindkét oldalt az ABC szög szinuszának felével beszorozva a feladatban szereplő állítást kapjuk.


Statistics:

91 students sent a solution.
4 points:77 students.
3 points:7 students.
2 points:4 students.
1 point:1 student.
0 point:2 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley