KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 3879. (January 2006)

B. 3879. An escribed circle of a convex polygon is defined as a circle that touches one side of the polygon externally, and also touches the extensions of the two adjacent sides. Let k denote the sum of the areas of the escribed circles of a polygon, and let t denote the total area of the circles drawn over the sides of the polygon as diameters. Assume that the polygon has an inscribed circle, and let K and T denote the perimeter and area of the inscribed circle, respectively. Show that \frac{k}{t}\le \frac{K}{T}.

(4 pont)

Deadline expired on 15 February 2006.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Legyenek a sokszög oldalai a_1,a_2,\ldots, a_n, az ezeket érintő hozzáírt körök sugarai rendre r_1,r_2,\ldots,r_n, a beírt kör sugara R. Ekkor k=\sum_{i=1}^n 2r_i\pi, t=\sum_{i=1}^n(a/2)^2\pi, K=2R\pi és T=R2\pi. Ezek alapján a bizonyítandó állítást

\sum_{i=1}^n 4Rr_i\le \sum_{i=1}^n a_i^2

alakba írhatjuk át. Megmutatjuk, hogy minden i-re 4Rri\leai2. Legyen az i-edik oldal két végpontja A és B, ezt a beírt kör és a hozzáírt kör a C,D pontokban érinti. Ugyanezek a körök a szomszédos oldalak egyenesét érintsék az E,F, illetve G,H pontokban az ábra szerint. Ekkor AE=AC, AF=AD, BG=BC és BH=BD miatt

EF+GH=AC+AD+BC+BD=2ai.

A szimmetria miatt tehát EF=GH=ai. Ha a két kör középpontját O és Oi jelöli, akkor R+ri\leOOi, és itt egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha a C,D pontok az OOi szakaszra esnek, vagyis ha a sokszög A és B csúcsánál lévő két szöge egyenlő. A Pithagorasz-tétel alapján tehát

R2+2Rri+ri2\leOOi2=EF2+(R-ri)2=ai2+R2-2Rri+ri2,

vagyis valóban 4Rri\leai2. Ezeket az egyenlőtlenséget összegezve kapjuk a bizonyítandó állítást. Az is látszik ebből, hogy egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha a sokszög valamennyi szöge egyenlő. Mivel a sokszögbe kör írható, ez azt jelenti, hogy a sokszög szabályos.


Statistics:

29 students sent a solution.
4 points:Herber Máté, Honner Balázs, Kovács 111 Péter, Kovács 129 Péter, Páldy Sándor, Sümegi Károly, Szalóki Dávid, Szirmai Péter, Szűcs Gergely, Tomon István.
3 points:Blázsik Zoltán, Bogár 560 Péter, Csaba Ákos, Cseh Ágnes, Godó Zita, Horváth 385 Vanda, Komáromy Dani, Kunovszki Péter, Kurgyis Eszter, Nagy 235 János, Peregi Tamás, Sóti Gergely, Szakács Nóra, Szilágyi 987 Csaba, Tossenberger Anna, Udvari Balázs.
2 points:1 student.
1 point:1 student.
0 point:1 student.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley