KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 3880. (January 2006)

B. 3880. Prove that every positive integer n has a (positive) multiple smaller than n2, such that in decimal notation it does not contain all the ten different digits.

(5 pont)

Deadline expired on 15 February 2006.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Ha n<109, akkor n legfeljebb 9-jegyű, vagyis maga az n szám kielégíti a feltételeket. Feltehetjük tehát, hogy 10k\len<10k+1 teljesül alkalmas k\ge9 egész számmal, ekkor n2\ge102k. Tekintsük az összes 2k-jegyű számot, melyekben csak az 1,2,3,4 számjegyek szerepelnek. Ezek mindegyike kisebb, mint n2, számuk pedig 4k, ami nagyobb, mint n. Valóban, (8/5)3=512/125>4, ezért (8/5)k\ge(8/5)9>43>10, tehát 10.5k<8k, vagyis n<10k+1<16k=42k. A skatulya-elv miatt van a számok között kettő, amely n-nel osztva ugyanannyi maradékot ad. E két szám különbsége tehát kisebb, mint n2, osztható n-nel, és nem szerepelhet benne sem a 4-es, sem az 5-ös számjegy.


Statistics:

6 students sent a solution.
5 points:Dombi Soma, Károlyi Gergely, Sümegi Károly, Szűcs Gergely, Tomon István.
4 points:Nagy 235 János.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley