Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 3881. (January 2006)

B. 3881. Let a, b, c denote rational numbers, such that \big(a+b\root3\of{2} + c\root3\of{4}\,
\big)^3 is also rational. Prove that at least two of the numbers a, b, c must be zero.

Suggested by E. Fried, Budapest

(5 pont)

Deadline expired on February 15, 2006.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Először megmutatjuk, hogy ha az a,b,c racionális számokra a+b\root3\of{2} + c\root3\of{4}=0, akkor a=b=c=0. Nyilván nem lehet, hogy az a,b,c számok közül pontosan egy legyen 0. Ha pontosan kettő lenne 0, akkor abból következne, hogy \root3\of{2} vagy \root3\of{4} racionális. Ha pedig mindhárom különbözne 0-tól, akkor alkalmas u,v\ne0 racionális számokkal u+v \root3\of{2}=
\root3\of{4} lenne, ahonnan

4=\big(u+v \root3\of{2}\big)^3=u^3+2v^3+3u^2v\root3\of{2}+3uv^2\root3\of{4},

vagyis

(u^3+2v^3+3u^2v^2-4)+(3u^2v+3uv^3)\root3\of{2}=0

következne. Itt mindkét együtthatónak 0-nak kell lenni. Mivel u,v\ne0, a 3u2v+3uv3=0 összefüggésből u=-v2 következik, ezt az u3+2v3+3u2v2-4=0 összefüggésbe beírva 2v6+2v3-4=0 adódik, ahonnan v3 lehetséges értéke -2 vagy 1. Mivel v racionális, kapjuk, hogy v3=1, v=1, u=-1, ám -1+\root3\of{2}=\root3\of{4} nem teljesül, hiszen az egyik szám 1-nél kisebb, a másik pedig 1-nél nagyobb. Tehát ez az eset sem lehetséges. A bizonyított állításból pedig következik, hogy ha alkalmas a,b,c racionális számokkal a+b\root3\of{2} + c\root3\of{4} racionális, akkor szükségképpen b=c=0.

A feladatban szereplő számra a hatványozást elvégezve, ez a szám x+y\root3\of{2} + z\root3\of{4} alakba írható, ahol

x=a^3+2b^3+4c^3+12abc,\ y=3a^2b+6ac^2+6b^2c,\ z=3ab^2+3a^2c+6bc^2.

Megjegyzésünk szerint y=z=0, vagyis a2b+2ac2+2b2c=0 és ab2+a2c+2bc2=0. Az első egyenletet c-vel, a másodikat b-vel szorozva, majd az így kapott két egyenletet egymásból kivonva a 2ac3-ab3=0 egyenletre jutunk. Ha a\ne0, akkor innen 2c3=b3, ami csak b=c=0 esetén teljesülhet. Ha pedig a=0, akkor azt az első egyenletbe beírva 2b2c=0 adódik, ami csak úgy teljesülhet, ha b és c valamelyike szintén 0.


Statistics:

45 students sent a solution.
5 points:Blázsik Zoltán, Honner Balázs, Kardos Kinga Gabriela, Károlyi Márton, Komáromy Dani, Kovács 129 Péter, Kutas Péter, Mészáros Gábor, Milotai Zoltán, Nagy 235 János, Németh 007 Zsolt, Pálovics Róbert, Pásztor Attila, Sümegi Károly, Szabó 108 Tamás, Szalkai Balázs, Szalóki Dávid, Szilágyi 987 Csaba, Szűcs Gergely, Ta Phuong Linh, Tomon István, Udvari Balázs.
4 points:Csizmadija Laura, Sárkány Lőrinc.
3 points:3 students.
2 points:7 students.
1 point:2 students.
0 point:9 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2006