KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 3884. (February 2006)

B. 3884. Three unit circles all pass through the point P. Their other intersections are A, B and C. Find the radius of the circumscribed circle of the triangle ABC.

(4 pont)

Deadline expired on 16 March 2006.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Jelölje a körök középpontját X,Y és Z az ábra szerint. Ekkor a PXAY, PXBZ és PYCZ négyszögek egyaránt egység oldalhosszúságú rombuszok, amiértis \ora{XA}=\ora{PY}=\ora{ZC}. Legyen Q az a pont, amelyre \ora{AQ}=\ora{XB}, ekkor \ora{BQ}=\ora{XA}, vagyis \ora{BQ}=\ora{ZC}, tehát \ora{CQ}=\ora{ZB} is igaz. Beláttuk tehát, hogy az \ora{AQ}, \ora{BQ} és \ora{CQ} vektorok mindegyike egység hosszú, vagyis az A,B,C pontok egyránt egységnyi távolságra helyezkednek el a Q ponttól. Az ABC háromszög köré írható kör középpontja ezek szerint a Q pont, sugara pedig egységnyi.


Statistics:

125 students sent a solution.
4 points:63 students.
3 points:39 students.
2 points:8 students.
1 point:10 students.
0 point:2 students.
Unfair, not evaluated:3 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley