Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 3884. feladat (2006. február)

B. 3884. Három egységnyi sugarú kör mindegyike átmegy a P ponton, további metszéspontjaik pedig A, B és C. Mekkora az ABC háromszög köré írható kör sugara?

(4 pont)

A beküldési határidő 2006. március 16-án LEJÁRT.

Megoldás: Jelölje a körök középpontját X,Y és Z az ábra szerint. Ekkor a PXAY, PXBZ és PYCZ négyszögek egyaránt egység oldalhosszúságú rombuszok, amiértis \ora{XA}=\ora{PY}=\ora{ZC}. Legyen Q az a pont, amelyre \ora{AQ}=\ora{XB}, ekkor \ora{BQ}=\ora{XA}, vagyis \ora{BQ}=\ora{ZC}, tehát \ora{CQ}=\ora{ZB} is igaz. Beláttuk tehát, hogy az \ora{AQ}, \ora{BQ} és \ora{CQ} vektorok mindegyike egység hosszú, vagyis az A,B,C pontok egyránt egységnyi távolságra helyezkednek el a Q ponttól. Az ABC háromszög köré írható kör középpontja ezek szerint a Q pont, sugara pedig egységnyi.

Statisztika:

125 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:63 versenyző.
3 pontot kapott:39 versenyző.
2 pontot kapott:8 versenyző.
1 pontot kapott:10 versenyző.
0 pontot kapott:2 versenyző.
Nem versenyszerű:3 dolgozat.

A KöMaL 2006. februári matematika feladatai