Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 3885. (February 2006)

B. 3885. The radius of the iscribed circle of a triangle is r, the radius of its circumcircle is R, and one of the angles is \alpha. Given that


r=4R\cos\alpha \sin^2 \frac{\alpha}{2},

show that the triangle is isosceles.

(4 pont)

Deadline expired on March 16, 2006.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: A szokásos jelölésekkel élve, r=(s-a)\tg{\alpha\over 2} és a=2Rsin \alpha, ezért mindkét oldalt a \sin\alpha=2\sin{\alpha\over 2}
\cos{\alpha\over 2} mennyiséggel szorozva

(b+c-a)\sin^2{\alpha\over 2}=2a\cos\alpha\sin^2{\alpha\over 2}

adódik. Egyszerűsítés után mindkét oldalhoz 2a-t hozzáadva kapjuk, hogy

a+b+c=2a+2a\cos\alpha=2a+a\cdot{b^2+c^2-a^2\over bc}.

Innen (a+b+c)bc=a(2bc+b2+c2-a2)=a(a+b+c)(b+c-a), vagyis bc=ab+ac-a2, ahonnan (a-b)(a-c)=0, vagyis az a oldal vagy a b, vagy a c oldallal egyenlő hosszúságú.


Statistics:

38 students sent a solution.
4 points:Bogár 560 Péter, Csaba Ákos, Cseh Ágnes, Csizmadija Laura, Dányi Zsolt, Farkas Gergő, Fegyverneki Tamás, Gyöngyösi Zsolt, Győrffy Lajos, Honner Balázs, Kardos Kinga Gabriela, Komáromy Dani, Kovács 111 Péter, Kovács 129 Péter, Lovász László Miklós, Mészáros Gábor, Nagy 235 János, Németh Kitti Noémi, Páldy Sándor, Peregi Tamás, Priksz Ildikó, Salát Zsófia, Sümegi Károly, Szalóki Dávid, Szudi László, Tallián György, Tossenberger Anna.
3 points:Csató László, Pásztor Attila, Ta Phuong Linh, Wolosz János.
2 points:2 students.
1 point:2 students.
0 point:3 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2006