A B. 3885. feladat (2006. február)

B. 3885. Egy háromszög beírt körének sugara r, körülírt körének sugara R, egyik szöge pedig $\alpha$ . Tegyük fel, hogy

$r=4R\cos\alpha \sin^2 \frac{\alpha}{2}.$

Mutassuk meg, hogy a háromszög egyenlő szárú.

(4 pont)

A beküldési határidő 2006. március 16-án LEJÁRT.

Megoldás: A szokásos jelölésekkel élve, $r=(s-a)\tg{\alpha\over 2}$ és a=2Rsin $\alpha$ , ezért mindkét oldalt a $\sin\alpha=2\sin{\alpha\over 2} \cos{\alpha\over 2}$ mennyiséggel szorozva

$(b+c-a)\sin^2{\alpha\over 2}=2a\cos\alpha\sin^2{\alpha\over 2}$

adódik. Egyszerűsítés után mindkét oldalhoz 2a-t hozzáadva kapjuk, hogy

$a+b+c=2a+2a\cos\alpha=2a+a\cdot{b^2+c^2-a^2\over bc}.$

Innen (a+b+c)bc=a(2bc+b²+c²-a²)=a(a+b+c)(b+c-a), vagyis bc=ab+ac-a², ahonnan (a-b)(a-c)=0, vagyis az a oldal vagy a b, vagy a c oldallal egyenlő hosszúságú.

Statisztika:

38 dolgozat érkezett.

4 pontot kapott: Bogár 560 Péter, Csaba Ákos, Cseh Ágnes, Csizmadija Laura, Dányi Zsolt, Farkas Gergő, Fegyverneki Tamás, Gyöngyösi Zsolt, Győrffy Lajos, Honner Balázs, Kardos Kinga Gabriela, Komáromy Dani, Kovács 111 Péter, Kovács 129 Péter, Lovász László Miklós, Mészáros Gábor, Nagy 235 János, Németh Kitti Noémi, Páldy Sándor, Peregi Tamás, Priksz Ildikó, Salát Zsófia, Sümegi Károly, Szalóki Dávid, Szudi László, Tallián György, Tossenberger Anna.

3 pontot kapott: Csató László, Pásztor Attila, Ta Phuong Linh, Wolosz János.

2 pontot kapott: 2 versenyző.

1 pontot kapott: 2 versenyző.

0 pontot kapott: 3 versenyző.

A KöMaL 2006. februári matematika feladatai

38 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Bogár 560 Péter, Csaba Ákos, Cseh Ágnes, Csizmadija Laura, Dányi Zsolt, Farkas Gergő, Fegyverneki Tamás, Gyöngyösi Zsolt, Győrffy Lajos, Honner Balázs, Kardos Kinga Gabriela, Komáromy Dani, Kovács 111 Péter, Kovács 129 Péter, Lovász László Miklós, Mészáros Gábor, Nagy 235 János, Németh Kitti Noémi, Páldy Sándor, Peregi Tamás, Priksz Ildikó, Salát Zsófia, Sümegi Károly, Szalóki Dávid, Szudi László, Tallián György, Tossenberger Anna.
3 pontot kapott:	Csató László, Pásztor Attila, Ta Phuong Linh, Wolosz János.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?