Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 3887. (February 2006)

B. 3887. We built a large solid cube out of more than ten wooden cubes of unit edge. Then we painted all faces of the large cube. Is it possible that the number of unit cubes that have some faces is a factor of the number of unpainted ones?

(4 pont)

Deadline expired on March 16, 2006.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Ha a nagy kockát (n+2)3 számú fakockából építettük (n pozitív egész), akkor a különválasztott kis kockák száma n3, a többié pedig d=(n+2)3-n3=6n2+12n+8. Ha d osztója n3-nek, akkor osztja a dn-6n3=12n2+8n számot is. Mivel ez 2d-nél kisebb pozitív szám, egyenlő kell legyen d-vel. Ez viszont a 6n2-4n-8=0 másodfokú egyenletre vezet, aminek nincs egész megoldása. A feltett kérdésre tehát nemleges a válasz.


Statistics:

125 students sent a solution.
4 points:68 students.
3 points:5 students.
2 points:6 students.
1 point:25 students.
0 point:19 students.
Unfair, not evaluated:2 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2006