Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 3888. (February 2006)

B. 3888. For what integers m>1 is there an ordering a1,a2,...,am of the numbers 1,2,...,m, such that the sums a1,a1+a2,...,a1+a2+...+am leave different remainders when divided by m?

(5 pont)

Deadline expired on March 16, 2006.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Ha létezik ilyen sorrend, akkor abban a1=m. Ha m páratlan, akkor a_1+a_2+\ldots+a_m=m(m+1)/2 is osztható m-mel, tehát m páros. Ha viszont m=2k páros szám, akkor legyen ai=i-1, ha i páros és ai=m-i+1, ha i páratlan; az így megadott sorrend megfelelő lesz. Valóban, ekkor ai+ai+1 m-mel osztva 1 maradékot ad, ha i páratlan, illetve m-1 maradékot ad, ha i páros. Ezért az a1, a1+a2+a3, a1+a2+a3+a4+a5, \ldots, a_1+a_2+\ldots+a_{m-1} összegek rendre 0,1,2,\ldots, k-1 maradékot adnak m-mel osztva, a felsorolásból kimaradt összegek pedig rendre m-1,m-2,\ldots, m-k=k maradékot adnak. Vagyis pontosan akkor van megfelelő sorrend, ha m páros.


Statistics:

58 students sent a solution.
5 points:Balambér Dávid, Blázsik Zoltán, Csaba Ákos, Csató László, Cseh Ágnes, Cserép Máté, Dányi Zsolt, Dombi Soma, Farkas Ádám László, Grósz Dániel, Honner Balázs, Károlyi Gergely, Károlyi Márton, Kornis Kristóf, Kovács 129 Péter, Kunovszki Péter, Kurgyis Eszter, Kutas Péter, Lovász László Miklós, Mészáros Gábor, Milotai Zoltán, Peregi Tamás, Prőhle Zsófia, Sárkány Lőrinc, Sümegi Károly, Szabó 108 Tamás, Szalkai Balázs, Szaller Dávid, Szalóki Dávid, Szilágyi 987 Csaba, Szirmai Péter, Szőke Nóra, Szűcs Gergely, Tomon István, Tóthmérész Lilla, Udvari Balázs, Varga 171 László, Véges Márton.
4 points:Fegyverneki Tamás, Kovács 111 Péter, Kovács 333 Veronika, Matyuska Péter, Nagy 314 Dániel, Nagy-Baló András, Tossenberger Anna, Varga 111 Péter.
3 points:5 students.
2 points:3 students.
1 point:3 students.
0 point:1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2006