Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 3888. feladat (2006. február)

B. 3888. Mely m>1 egészekre létezik az 1,2,\ldots,m számoknak olyan a_1,a_2,\allowbreak
\ldots,a_m sorrendje, hogy az a_1,a_1+a_2,\ldots,a_1+a_2+ \ldots+a_m összegek mind különböző maradékot adnak m-mel osztva?

(5 pont)

A beküldési határidő 2006. március 16-án LEJÁRT.


Megoldás: Ha létezik ilyen sorrend, akkor abban a1=m. Ha m páratlan, akkor a_1+a_2+\ldots+a_m=m(m+1)/2 is osztható m-mel, tehát m páros. Ha viszont m=2k páros szám, akkor legyen ai=i-1, ha i páros és ai=m-i+1, ha i páratlan; az így megadott sorrend megfelelő lesz. Valóban, ekkor ai+ai+1 m-mel osztva 1 maradékot ad, ha i páratlan, illetve m-1 maradékot ad, ha i páros. Ezért az a1, a1+a2+a3, a1+a2+a3+a4+a5, \ldots, a_1+a_2+\ldots+a_{m-1} összegek rendre 0,1,2,\ldots, k-1 maradékot adnak m-mel osztva, a felsorolásból kimaradt összegek pedig rendre m-1,m-2,\ldots, m-k=k maradékot adnak. Vagyis pontosan akkor van megfelelő sorrend, ha m páros.


Statisztika:

58 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Balambér Dávid, Blázsik Zoltán, Csaba Ákos, Csató László, Cseh Ágnes, Cserép Máté, Dányi Zsolt, Dombi Soma, Farkas Ádám László, Grósz Dániel, Honner Balázs, Károlyi Gergely, Károlyi Márton, Kornis Kristóf, Kovács 129 Péter, Kunovszki Péter, Kurgyis Eszter, Kutas Péter, Lovász László Miklós, Mészáros Gábor, Milotai Zoltán, Peregi Tamás, Prőhle Zsófia, Sárkány Lőrinc, Sümegi Károly, Szabó 108 Tamás, Szalkai Balázs, Szaller Dávid, Szalóki Dávid, Szilágyi 987 Csaba, Szirmai Péter, Szőke Nóra, Szűcs Gergely, Tomon István, Tóthmérész Lilla, Udvari Balázs, Varga 171 László, Véges Márton.
4 pontot kapott:Fegyverneki Tamás, Kovács 111 Péter, Kovács 333 Veronika, Matyuska Péter, Nagy 314 Dániel, Nagy-Baló András, Tossenberger Anna, Varga 111 Péter.
3 pontot kapott:5 versenyző.
2 pontot kapott:3 versenyző.
1 pontot kapott:3 versenyző.
0 pontot kapott:1 versenyző.

A KöMaL 2006. februári matematika feladatai