KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 3889. (February 2006)

B. 3889. Here is a magician's trick that I have seen: He asked one of the spectators to choose 5 cards at random from a deck of 52 French cards and hand them to his assistant. (The assistant was a permanent partner of the magician, so they could have talked before.) The assistant looked at the 5 cards, and handed four of them over to the magician one by one. Then the magician, without receiving any further information, named the fifth card. After the trick, the magician tried to convince mathematically minded spectators as follows:

``My assistant showed me four cards, and those four cards may be any four of the deck, therefore the only way he could convey information to me was through the order of the four cards he showed to me. Since, as you know, there are 4!=24 possible orders of four cards, and the fifth card could be any of 52-4=48, exactly 1 bit of information was missing. It is the guessing of this bit that needs a miracle.''

Does the trick really need supernatural powers?

Suggested by M. Gáspár Előd, physicist

(5 pont)

Deadline expired on 16 March 2006.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: A bűvész érvelése helytelen, hiszen annak is információértéke lehet, hogy a segítő az 5 kiválasztott lap közül melyik négyet mutatja meg a bűvésznek, ez tehát elvileg még 5-tel megszorozhatja a lehetőségek számat (többel azonban semmiképp: 5.24+4=124 lapnál többet tartalmazó kártyacsomag esetén tehát valóban szükség lenne természetfölötti képességekre). A mutatvány pedig valóban elvégezhető az alábbi egyszerű megállapodás segítségével.

Az 5 kiválasztott lap között biztosan van kettő azonos színű, sA és sB, ahol s a színt jelenti, A,B pedig a számot, ahol az ászt 1-gyel, a bubit 11-gyel, a dámát 12-vel, a királyt pedig 13-mal azonosítjuk. Ciklikusan, vagyis modulo 13 számolva, A és B különbsége legfeljebb 6, ilyen értelemben legyen A a kisebb, B pedig a nagyobb. (Ha tehát a két lap 4-es és 7-es, akkor A=4,B=7, ha viszont a két lap 3-as és király, akkor A=13,B=3). Ha a segéd megegyezés szerint az sB lapot nem adja át a bűvésznek, az sA pedig az a lap a 4 közül, amit először megmutat, akkor a bűvész rögtön tudja sB színét, sőt azt is tudja, hogy az ezen színnel rendelkező 12 kártyalap közül az sA-t (ciklikus sorrendben) követő 6 lap valamelyikéről van szó. Hogy e 6 lap közül melyikről, azt a segítő a megmaradt 3 lap 6 lehetséges sorrendje közül a megfelelő kiválasztásával tudja a bűvész tudomására hozni, például úgy, hogy megállapítanak a kártyák között egy erősorrendet, és attól függően, hogy a segéd milyen erősorrendben mutatja be a megmaradt 3 lapot, a bűvész az 1,2,3,4,5 vagy 6 számot adja hozzá (modulo 13 számolva) A-hoz, hogy megkapja B-t. A megállapodás további részleteinek megvalósítását ezek után már nyugodtan rábízhatjuk a bűvészkedés iránt is érdeklődő olvasóra.


Statistics:

70 students sent a solution.
5 points:Almási 270 Gábor András, Csaba Ákos, Csató László, Csige Péter, Csima Géza, Dudás László, Károlyi Gergely, Károlyi Márton, Kiss 243 Réka, Kovács 129 Péter, Kozma Márton, Kurgyis Eszter, Lovász László Miklós, Mercz Béla, Pap Máté, Pesti Veronika, Sümegi Károly, Szalóki Dávid, Szőke Nóra, Tomon István, Udvari Balázs, Varga 111 Péter, Varga 171 László.
4 points:Beck Zoltán, Cseh Ágnes, Cséke Balázs, Dombi Soma, Honner Balázs, Kovács 111 Péter, Kutas Péter, Németh 546 Attila György, Páldy Sándor, Pásztor Attila, Pirkó Dániel, Szabó Levente, Szebeni Szilveszter, Szilágyi 987 Csaba.
3 points:7 students.
2 points:4 students.
1 point:6 students.
0 point:16 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley