Problem B. 3890. (February 2006)

B. 3890. There are 200 participants at an international conference. Each of them speaks at least 4 languages, and in any three of them there are two who speak a language in common. Prove that there is a language that at least 26 participants speak.

(4 pont)

Deadline expired on March 16, 2006.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Alkalmazzuk az indirekt bizonyítás módszerét. Tegyük fel, hogy minden nyelvet a résztvevők közül legfeljebb 25-en beszélnek. Vegyünk egy A tudóst, ő bármelyik általa beszélt nyelven legfeljebb 24 másik tudóssal tud kommunikálni, ami azt jelenti, hogy van legalább 200-4^.24-1=103 tudós, aki nem beszél A-val közös nyelven. Ha ezek egyike B, akkor B is legfeljebb 96 másik tudóssal tud beszélni, marad tehát legalább 103-96-1=6 olyan tudós, aki sem A-val, sem B-vel nem beszél közös nyelvet. Ha ezek közül valamelyik C, akkor A,B,C közül semelyik kettő nem beszél közös nyelvet, ami ellentmond a feltételnek.

Statistics:

64 students sent a solution.
4 points:	51 students.
3 points:	12 students.
2 points:	1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2006