Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 3891. (February 2006)

B. 3891. Given that x and y are rational numbers, such that x5+y5=2x2y2. Prove that 1-xy is the square of a rational number.

(5 pont)

Deadline expired on March 16, 2006.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Az egyenlőséget átrendezve kapjuk, hogy x2(x3-y2)=y2(x2-y3). Másrészt

(x3-y2)(x2-y3)=x5+y5-x2y2(xy+1)=x2y2(1-xy).

Ha x és y közül valamelyik 0, akkor 1-xy=1, egyébként pedig a fönti két összefüggés alapján

1-xy={(x^3-y^2)(x^2-y^3)\over x^2y^2}={(x^3-y^2)^2\over y^4},

ami valóban egy racionális szám négyzete.


Statistics:

54 students sent a solution.
5 points:Blázsik Zoltán, Csató László, Cseh Ágnes, Cserép Gergely, Cserép Máté, Farkas Márton, Fegyverneki Tamás, Fodor Emese Zsófia, Godó Zita, Honner Balázs, Horváth 385 Vanda, Kardos Kinga Gabriela, Károlyi Márton, Kiss 243 Réka, Komáromy Dani, Kornis Bence, Kornis Kristóf, Kovács 111 Péter, Kovács 129 Péter, Kovács 333 Veronika, Kriván Bálint, Kurgyis Eszter, Láng Marcell, Lovász László Miklós, Mészáros Gábor, Móri Bálint, Nagy 235 János, Páldy Sándor, Pálovics Róbert, Peregi Tamás, Sümegi Károly, Szabó 108 Tamás, Szalóki Dávid, Szilágyi 987 Csaba, Szirmai Péter, Szolnoki Lénárd, Szűcs Gergely, Ta Phuong Linh, Tomon István, Tossenberger Anna, Tóth 796 Balázs, Török Balázs, Varga 171 László, Varga 868 András, Véges Márton.
4 points:Szakács Nóra.
3 points:5 students.
1 point:2 students.
0 point:1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2006