Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 3896. (March 2006)

B. 3896. Consider the points where the lines of the altitudes of an acute scalene triangle intersect the perpendicular bisectors of the sides. Prove that these points determine two congruent triangles that are similar to the original triangle.

(4 pont)

Deadline expired on April 18, 2006.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Legyenek a háromszög csúcsai egy alkalmas derékszögű koordinátarendszerben A(0;0) B(2;0) és C(2a,2b). Ekkor az AB oldalhoz tartozó mc magasság-egyenes egyenlete x=2c, az fc felező merőlegesé pedig x=1. Az mb,fb,ma,fa egyenesek egyenlete pedig rendre

cx+dy=2c,  cx+dy=c2+d2,  (c-1)x+dy=0,  (c-1)x+dy=c2+d2-1.

A fc és mb egyenesek X, az fb és ma egyenesek Y, valamint az fa és mc egyenesek Z metszéspontjainak koordinátáira ebből

\Bigl(1;{c\over d}\Bigr),\quad \Bigl(c^2+d^2; {(c^2+d^2)(c-1)\over d}
\Bigr),\quad \Bigl(2c;{d^2-c^2+2c-1\over d}\Bigr)

számolható ki. A Pithagorasz tétel szerint

AB2:AC2:BC2=1:(c2+d2):((1-c)2+d2).

Némi számolással igazolhatjuk, hogy XY2=(c2+d2)XZ2 és YZ2=((1-c)2+d2)XY2, ami mutatja, hogy az XZY háromszög hasonló az ABC háromszöghöz. Mivel pedig a Feuerbach-kör középpontjára (ami a magasságpontot a körülírt kör közzéppontjával összekötő szakasz felezőpontja) való tükrözés az ma,mb,mc egyeneseket rendre az fa,fb,fc egyenesekbe viszi, az XYZ háromszög tükörképe éppen a hat egyenes metszéspontjai által meghatározott másik háromszög lesz.


Statistics:

42 students sent a solution.
4 points:Dányi Zsolt, Farkas Ádám László, Kovács 111 Péter, Kunovszki Péter, Salát Zsófia.
3 points:Kovács 129 Péter, Nagy 235 János, Szirmai Péter, Szívós Eszter.
2 points:22 students.
1 point:6 students.
0 point:4 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2006