A B. 3896. feladat (2006. március)

B. 3896. Tekintsük egy hegyesszögű, nem egyenlő szárú háromszög magasság-egyeneseinek az oldalfelező merőlegesekkel alkotott metszéspontjait. Bizonyítsuk be, hogy e pontok két, egymással egybevágó, az eredeti háromszöghöz hasonló háromszöget határoznak meg.

Javasolta: Bodnár János

(4 pont)

A beküldési határidő 2006. április 18-án LEJÁRT.

Megoldás: Legyenek a háromszög csúcsai egy alkalmas derékszögű koordinátarendszerben A(0;0) B(2;0) és C(2a,2b). Ekkor az AB oldalhoz tartozó m_c magasság-egyenes egyenlete x=2c, az f_c felező merőlegesé pedig x=1. Az m_b,f_b,m_a,f_a egyenesek egyenlete pedig rendre

cx+dy=2c,  cx+dy=c²+d²,  (c-1)x+dy=0,  (c-1)x+dy=c²+d²-1.

A f_c és m_b egyenesek X, az f_b és m_a egyenesek Y, valamint az f_a és m_c egyenesek Z metszéspontjainak koordinátáira ebből

számolható ki. A Pithagorasz tétel szerint

AB²:AC²:BC²=1:(c²+d²):((1-c)²+d²).

Némi számolással igazolhatjuk, hogy XY²=(c²+d²)XZ² és YZ²=((1-c)²+d²)XY², ami mutatja, hogy az XZY háromszög hasonló az ABC háromszöghöz. Mivel pedig a Feuerbach-kör középpontjára (ami a magasságpontot a körülírt kör közzéppontjával összekötő szakasz felezőpontja) való tükrözés az m_a,m_b,m_c egyeneseket rendre az f_a,f_b,f_c egyenesekbe viszi, az XYZ háromszög tükörképe éppen a hat egyenes metszéspontjai által meghatározott másik háromszög lesz.

Statisztika:

42 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Dányi Zsolt, Farkas Ádám László, Kovács 111 Péter, Kunovszki Péter, Salát Zsófia.
3 pontot kapott:	Kovács 129 Péter, Nagy 235 János, Szirmai Péter, Szívós Eszter.
2 pontot kapott:	22 versenyző.
1 pontot kapott:	6 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2006. márciusi matematika feladatai