Problem B. 3897.

Order KöMaL!

ELTE

Competitions Portal

B. 3897. For which values of n is it possible to assign values to the variables $x_1,x_2,\ldots,x_n$ from the set {+1,-1} to make the equality

$x_1x_2+x_2x_3+x_3x_4+\ldots+x_{n-1}x_n+x_nx_1=0$

true?

(4 points)

Deadline expired.

Sorry, the solution is published in Hungarian only.

Megoldás: Az x_n+1=x₁ jelölést bevezetve, 1 $\le$ i $\le$ n esetén x_ix_i+1 értéke +1 pontosan akkor, ha x_i és x_i+1 előjele megegyezik, ellenkező esetben pedig a szorzat értéke -1. A szorzatok összege tehát pontosan akkor 0, ha a szorzatok fele +1, másik fele pedig -1 értéket vesz fel, vagyis ha az $x_1,x_2,\ldots,x_n,x_1$ sorozatban az előjelváltások száma, e=n/2. Mivel az e egész szám mindenképpen páros, az n szám osztható kell legyen 4-gyel. Ha pedig n osztható 4-gyel, akkor az x_4i-3=x_4i-2=+1, x_4i-1=x_4i=-1 választás nyilván megfelelő.

Statistics on problem B. 3897.

118 students sent a solution.

4 points: 78 students.

3 points: 11 students.

2 points: 15 students.

1 point: 8 students.

0 point: 6 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2006

Our web pages are supported by:

ELTE