Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 3900. (March 2006)

B. 3900. Find all pairs (a1,a2) of positive integers, such that the sequence defined by the recurrence


a_{n+2}=\frac{a_n+a_{n+1}}{(a_n,a_{n+1})}\qquad (n\ge 1)

is periodic.

(5 pont)

Deadline expired on April 18, 2006.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Nyilván a sorozat minden tagja pozitív egész. Legyen (an,an+1)=dn, ekkor an+1 és an=dnan+2-an+1, következésképpen dn is osztható dn+1-gyel. Ha az an sorozat az i-edik tagtól kezdve periodikus, akkor ugyanez igaz a dn sorozatra, vagyis ekkor d_i=d_{i+1}=d_{i+2}=\ldots=d. Ha d=1 lenne, akkor a sorozat az i-edik tagtól kezdve szigorúan monoton nőne, vagyis nem lenne periodikus, a d\ge3 esetben pedig az

a_{n+3}+a_{n+2}=a_{n+1}\Bigl({2\over d}+{1\over d^2}\Bigr)+
a_n \Bigl({1\over d}+{1\over d^2}\Bigr)<a_{n+1}+a_n

becslés alapján jutnánk ellentmondásra. Tehát d=2. Ekkor viszont n\gei esetén

a_{n+2}-a_{n+1}=-{a_{n+1}-a_n\over 2}

miatt a_i=a_{i+1}=a_{i+2}=\ldots, ellenkező esetben az ugyancsak periodikus |an+1-an| sorozat szigorúan csökkenő lenne. Az an számok közös értéke csak 2 lehet, és ebből a_{i-1}=a_{i-2}=\ldots=a_2=a_1=2 is következik indukcióval.


Statistics:

38 students sent a solution.
5 points:Blázsik Zoltán, Csató László, Cserép Gergely, Cserép Máté, Győrffy Lajos, Honner Balázs, Károlyi Gergely, Kassay Gábor, Kovács 111 Péter, Kovács 129 Péter, Mészáros Gábor, Milotai Zoltán, Nagy 235 János, Páldy Sándor, Pásztor Attila, Sümegi Károly, Szabó 108 Tamás, Szakács Nóra, Szalkai Balázs, Szalóki Dávid, Szilágyi 987 Csaba, Szolnoki Lénárd, Szudi László, Szűcs Gergely, Tomon István, Udvari Balázs, Varga 171 László.
4 points:Nagy 314 Dániel, Priksz Ildikó, Sárkány Lőrinc, Tóthmérész Lilla, Varga 868 András.
3 points:3 students.
2 points:2 students.
1 point:1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2006