KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 3900. (March 2006)

B. 3900. Find all pairs (a1,a2) of positive integers, such that the sequence defined by the recurrence


a_{n+2}=\frac{a_n+a_{n+1}}{(a_n,a_{n+1})}\qquad (n\ge 1)

is periodic.

(5 pont)

Deadline expired on 18 April 2006.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Nyilván a sorozat minden tagja pozitív egész. Legyen (an,an+1)=dn, ekkor an+1 és an=dnan+2-an+1, következésképpen dn is osztható dn+1-gyel. Ha az an sorozat az i-edik tagtól kezdve periodikus, akkor ugyanez igaz a dn sorozatra, vagyis ekkor d_i=d_{i+1}=d_{i+2}=\ldots=d. Ha d=1 lenne, akkor a sorozat az i-edik tagtól kezdve szigorúan monoton nőne, vagyis nem lenne periodikus, a d\ge3 esetben pedig az

a_{n+3}+a_{n+2}=a_{n+1}\Bigl({2\over d}+{1\over d^2}\Bigr)+
a_n \Bigl({1\over d}+{1\over d^2}\Bigr)<a_{n+1}+a_n

becslés alapján jutnánk ellentmondásra. Tehát d=2. Ekkor viszont n\gei esetén

a_{n+2}-a_{n+1}=-{a_{n+1}-a_n\over 2}

miatt a_i=a_{i+1}=a_{i+2}=\ldots, ellenkező esetben az ugyancsak periodikus |an+1-an| sorozat szigorúan csökkenő lenne. Az an számok közös értéke csak 2 lehet, és ebből a_{i-1}=a_{i-2}=\ldots=a_2=a_1=2 is következik indukcióval.


Statistics:

38 students sent a solution.
5 points:Blázsik Zoltán, Csató László, Cserép Gergely, Cserép Máté, Győrffy Lajos, Honner Balázs, Károlyi Gergely, Kassay Gábor, Kovács 111 Péter, Kovács 129 Péter, Mészáros Gábor, Milotai Zoltán, Nagy 235 János, Páldy Sándor, Pásztor Attila, Sümegi Károly, Szabó 108 Tamás, Szakács Nóra, Szalkai Balázs, Szalóki Dávid, Szilágyi 987 Csaba, Szolnoki Lénárd, Szudi László, Szűcs Gergely, Tomon István, Udvari Balázs, Varga 171 László.
4 points:Nagy 314 Dániel, Priksz Ildikó, Sárkány Lőrinc, Tóthmérész Lilla, Varga 868 András.
3 points:3 students.
2 points:2 students.
1 point:1 student.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley