KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 3902. (April 2006)

B. 3902. P is an interior point of the triangle ABC. The perimeter of the triangle is 2s. Show that s<PA+PB+PC<2s.

(3 pont)

Deadline expired on 18 May 2006.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Az ABP, BCP és CAP háromszögekre felírva a háromszög egyenlőtlenséget az

AB<AP+BP,\ BC<BP+CP,\  CA<CP+AP

egyenlőtlenségekhez jutunk. Ezeket összegezve, majd a kapott egyenlőtlenséget 2-vel osztva s<PA+PB+PC adódik.

A másik egyenlőtlenség bizonyításához húzzunk párhuzamost a P ponton át az AB egyenessel, ennek az oldalakkal vett metszéspontjait jelölje A' és B' az ábra szerint.

Most AP<AA'+A'P és BP<BB'+B'P alapján

AP+BP<(AA'+BB')+(A'P+PB')=(AA'+BB')+A'B'<(AA'+BB')+AB.

Továbbá CP<A'C+B'C is igaz, hiszen CP rövidebb az A'C és B'C szakaszok valamelyikénél. Következésképpen

PA+PB+PC<(AA'+A'C)+(BB'+B'C)+AB=2s.


Statistics:

139 students sent a solution.
3 points:127 students.
2 points:5 students.
1 point:7 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley