KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

Kifordítható

tetraéder

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 3902. P is an interior point of the triangle ABC. The perimeter of the triangle is 2s. Show that s<PA+PB+PC<2s.

(3 points)

Deadline expired on 18 May 2006.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás: Az ABP, BCP és CAP háromszögekre felírva a háromszög egyenlőtlenséget az

AB<AP+BP,\ BC<BP+CP,\  CA<CP+AP

egyenlőtlenségekhez jutunk. Ezeket összegezve, majd a kapott egyenlőtlenséget 2-vel osztva s<PA+PB+PC adódik.

A másik egyenlőtlenség bizonyításához húzzunk párhuzamost a P ponton át az AB egyenessel, ennek az oldalakkal vett metszéspontjait jelölje A' és B' az ábra szerint.

Most AP<AA'+A'P és BP<BB'+B'P alapján

AP+BP<(AA'+BB')+(A'P+PB')=(AA'+BB')+A'B'<(AA'+BB')+AB.

Továbbá CP<A'C+B'C is igaz, hiszen CP rövidebb az A'C és B'C szakaszok valamelyikénél. Következésképpen

PA+PB+PC<(AA'+A'C)+(BB'+B'C)+AB=2s.


Statistics on problem B. 3902.
139 students sent a solution.
3 points:127 students.
2 points:5 students.
1 point:7 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, April 2006

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley