Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 3902. feladat (2006. április)

B. 3902. Az ABC háromszög egy belső pontja P, kerülete 2s. Mutassuk meg, hogy

s<PA+PB+PC<2s.

(3 pont)

A beküldési határidő 2006. május 18-án LEJÁRT.

Megoldás: Az ABP, BCP és CAP háromszögekre felírva a háromszög egyenlőtlenséget az

AB<AP+BP,\ BC<BP+CP,\ CA<CP+AP

egyenlőtlenségekhez jutunk. Ezeket összegezve, majd a kapott egyenlőtlenséget 2-vel osztva s<PA+PB+PC adódik.

A másik egyenlőtlenség bizonyításához húzzunk párhuzamost a P ponton át az AB egyenessel, ennek az oldalakkal vett metszéspontjait jelölje A' és B' az ábra szerint.

Most AP<AA'+A'P és BP<BB'+B'P alapján

AP+BP<(AA'+BB')+(A'P+PB')=(AA'+BB')+A'B'<(AA'+BB')+AB.

Továbbá CP<A'C+B'C is igaz, hiszen CP rövidebb az A'C és B'C szakaszok valamelyikénél. Következésképpen

PA+PB+PC<(AA'+A'C)+(BB'+B'C)+AB=2s.

Statisztika:

139 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:127 versenyző.
2 pontot kapott:5 versenyző.
1 pontot kapott:7 versenyző.

A KöMaL 2006. áprilisi matematika feladatai