KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 3905. (April 2006)

B. 3905. How many solutions does the equation y2=x2-x+1 have in the set of a) integers; b) rational numbers?

(5 pont)

Deadline expired on 18 May 2006.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Ha x egynél nagyobb egész szám, akkor (x-1)2<x2-x+1<x2, ha pedig x negatív egész, akkor x2<x2-x+1<(x-1)2, amiértis y nem lehet egész szám. Az x=0 és az x=1 esetben pedig két-két megoldás van: y=1 és y=-1. Az egész számok körében tehát az egyenletnek pontosan 4 megoldása van.

Megmutatjuk, hogy végtelen sok olyan pozitív egészekből álló (c,d) számpár van, amelyre c és d relatív prímek és c2-cd+d2 négyzetszám, mondjuk e2. Ilyen esetben x=c/d és y=e/d kielégítik az egyenletet, és végtelen sok különböző megoldást kapunk ilyen módon a raconális számok körében. A c2-cd+d2=e2 egyenlet ekvivalens a (2c-d)2+3d2=(2e)2 egyenlettel, amelyet átrendezés után

3d2=(2e-2c+d)(2e+2c-d)

alakra hozhatunk. A c,e számokat alkalmasan választva elérhetjük, hogy a jobboldalon álló szorzat első tényezője 3, a második pedig d2 legyen. Ehhez az

e={d^2+3\over 4},\quad c={d^2+2d-3\over 4}

választásra van szükség, ahol d páratlan egész szám. Könnyen belátató, hogy ha d 1-nél nagyobb, 3-mal nem osztható páratlan szám, akkor c és e olyan pozitív egészek lesznek, melyekre teljesül a fenti egyenlőség, és c relatív prím d-hez. A racionális számok körében tehát végtelen sok megoldás van.


Statistics:

72 students sent a solution.
5 points:Blázsik Zoltán, Csató László, Cseh Ágnes, Cserép Gergely, Csizmadija Laura, Dombi Soma, Farkas Ádám László, Farkas Márton, Fegyverneki Tamás, Győrffy Lajos, Honner Balázs, Kardos Kinga Gabriela, Károlyi Márton, Kornis Kristóf, Kovács 111 Péter, Kovács 129 Péter, Kovács 333 Veronika, Kunovszki Péter, Kutas Péter, Mészáros Gábor, Móri Bálint, Nagy 235 János, Orosz Katalin, Páldy Sándor, Pásztor Attila, Peregi Tamás, Priksz Ildikó, Salát Zsófia, Sárkány Lőrinc, Sümegi Károly, Szabó 108 Tamás, Szakács Nóra, Szalkai Balázs, Szalóki Dávid, Szilágyi 987 Csaba, Szirmai Péter, Szőke Nóra, Szudi László, Szűcs Gergely, Tomon István, Varga 111 Péter, Varga 171 László, Véges Márton.
4 points:Cserép Máté, Heinczinger Ádám, Kátai-Pál Bence, Pirkó Dániel, Tossenberger Anna, Zieger Milán.
3 points:3 students.
2 points:15 students.
1 point:5 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley