KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 3906. The skew lines e and f are perpendicular. The unit line segment AB has its endpoint A on e and endpoint B on f. What is the locus of the midpoint of AB as its endpoints are moving along the lines?

(4 points)

Deadline expired on 18 May 2006.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás: Ha az egyenesek távolsága 1-nél nagyobb, a mértani hely üres. Amennyiben pontosan 1, úgy a mértani hely egyetlen pontból áll, amely a két egyenes normáltranszverzálisának O felezőpontja. Ha pedig az egyenesek D=2d távolságára 0<2d<1 teljesül, akkor vegyünk fel úgy egy derékszögű koordinátarendszert, hogy az e egyenes pontjait az x=0, z=d, az f egyenes pontjait pedig az y=0, z=-d egyenletrendszer megoldásai adják. Az AB szakasz felezőpontja az x,y-síkban helyezkedik el. Az A(0;y;d) és B(x;0;-d) pontok távolsága pontosan akkor 1, ha a térbeli Pithagorasz-tételnek megfelelően x2+y2+(2d)2=1, vagyis ha x2+y2=1-4d2. A szakasz felezőpontja ekkor az F(x/2;y/2;0) pont. A P(u;v;0) pont tehát pontosan akkor tartozik a mértani helyhez, ha koordinátáira u2+v2=1/4-d2 teljesül. A mértani hely ebben az esetben tehát egy O középpontú, \sqrt{1-D^2}/2 sugarú kör, amely az egyenesekkel párhuzamos, O-ra illeszkedő síkban helyezkedik el.


Statistics on problem B. 3906.
68 students sent a solution.
4 points:Balambér Dávid, Bartha Zsolt, Blázsik Zoltán, Bogár 560 Péter, Csaba Ákos, Cseh Ágnes, Csima Géza, Csizmadija Laura, Csorba János, Dányi Zsolt, Dombi Soma, Honner Balázs, Hotzi Bernadette, Károlyi Gergely, Károlyi Márton, Kovács 111 Péter, Kovács 129 Péter, Kunovszki Péter, Mészáros Gábor, Peregi Tamás, Pesti Veronika, Salát Zsófia, Sommer Dániel, Sümegi Károly, Szabó 108 Tamás, Szalóki Dávid, Szirmai Péter, Szívós Eszter, Szűcs Gergely, Tomon István, Tossenberger Anna, Tóth 796 Balázs, Tóthmérész Lilla, Udvari Balázs, Varga 171 László, Varga 868 András, Véges Márton, Werner Miklós.
3 points:23 students.
2 points:5 students.
1 point:2 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, April 2006

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley