Problem B. 3907. (April 2006)
B. 3907. Solve the following equation: sin x+cos x+sin xcos x=1.
(3 pont)
Deadline expired on May 18, 2006.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás: A megoldást keressük először a [0,2) intervallumban. Ha cos x vagy sin x értéke negatív, akkor a baloldalon álló összeg 3 tagja közül legfeljebb egy lehet pozitív, és az sem lehet 1-nél nagyobb. Ezért feltehető, hogy 0x/2. Ha 0<x</2, akkor a háromszög-egyenlőtlenség miatt sin x+cos x>1, másrészt sin xcos x>0. Ezért csak x=0 és x=/2 jöhet szóba. Mivel ezek valóban megoldást szolgáltatnak, a trigonometrikus függvények periodicitása miatt az összes megoldást a 2k és a 2k+/2 számok szolgáltatják, ahol k az egész számokon fut végig.
Statistics:
118 students sent a solution. 3 points: 63 students. 2 points: 21 students. 1 point: 26 students. 0 point: 6 students. Unfair, not evaluated: 2 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, April 2006